巧用数学方法处理物理极值问题

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1、巧用数学方法处理物理极值问题江苏省江阴市第一中学傅永祝（中教二级，83984520）内容提要：本文旨在通过一些关于极值问题的典型例题，如求追赶问题中怎样的情况下相距最近？小球从斜面下来怎样可以使时间最短？拉着物体在水平面上匀速运动怎样施力可以使所加力最小？在电路中，怎样可以使电阻消耗的功率最大？在电场中，哪一点的电场强度最大？通过这些例题，展示一些数学方法在处理物理物理问题上的优越性，使学生认识到，扎实的数学功底对于学好物理这门课程有很大的意义。关键词：极值问题二次函数配方法三角函数法基本不等式法极值问题在物理课程中

2、是常见的一类问题，对于此类问题，如果能结合一些数学上的判定方法，处理此类问题往往能达到事半功倍的效果。（一）二次函数配方法把二次函数y=ax2+bx+c配方得，若a>0，则当时，y有极小值：；若a<0时，则当当时，y有极大值：。如果一个物理问题能建立y=ax2+bx+c的数学模型，就可以用上述方法求出其极值。例1．一辆汽车从静止开始以1m/s2的加速度前进，车后相距s0=25m处，与车运动方向相同的某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，能否追上？若追不上，求人、车间的最小距离是多少？解析当经过时间t后，汽车前进的位移

3、为而人前进的位移为此时人、车相距的距离为代入相关数据可得上述表达式中，是t的二次函数，从该函数式一下子就可以看出，不可能等于0，即人不可能追上汽车，还可以看出，当t=6s时，人、车具有最短距离min=7m。（二）三角函数法三角函数里有很多关系式，如：、、等.有时，处理物理极值问题时，这一类关系式是很需要的。例2．给房屋设计屋顶时，把屋顶设计成斜面，把雨水沿着屋顶滑下的运动理想化为小球沿光滑斜面滑下的情形，为了要使雨水能尽快地滑下并从屋檐落下，则斜面的倾角应设计成多大的角度？按这种设计，雨水从屋顶到屋檐的时间为多少？解

4、析如图，设从屋顶A到屋檐B的水平距离为L，且斜面AB的倾角为θ。当雨水（理想化为图中的小球）从斜面滑下时，其加速度为a=gsinθ,从A到B的距离为L/cosθ,设从A到B所用的时间为t，则得当2θ=90º，sin2θ有最大值：（sin2θ）max=1。所以，当θ=45º时，t有最小值：tmin=例3．重量为G的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力使木块做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？解析木块在运动中受摩擦力作用，要减小摩擦力，应使作用力F斜向上，设当F斜向上与水平方向的夹角为α时，F

5、的值最小，木块受力分析如图所示，由平衡条件知：Fcosα-μN=0Fsinα+N-G=0解以上二式得令，则，可见，当α=时，F有最小值。即（一）基本不等式法若a>0、b>0，则有基本不等式，且当a=b时取等号，如果变量a与b的积是个定值，则其和有极小值：（定值）；如果变量a与b的和是个定值，则其积有极大值：（定值）。例2．在图示的电路中，电池的电动势E=5V，内电阻r=10Ω，固定电阻R=90Ω，R0是可变电阻，在R0由零逐渐增加到400Ω的过程中，可变电阻R0上消耗的热功率达最大时R0为多大？最大值是多少？解析：令

6、R+r=R’电路中的电流强度为可变电阻R0上消耗的热功率为由于（定值），故具有最小值，即当R’=R0，即R0=100Ω时取等号。就是说，当R0=100Ω时，可变电阻R0上消耗的热功率最大。最大热功率为例3．已知带等量同种电荷的两个点电荷A、B所带电量均为Q，相距2a，则在它们连线的中垂线上，哪一点的电场强度最大？最大值为多少？解析设在点电荷A、B的连线的中垂线上有一点P，且AP与中垂线夹角为θ，则①又有②由①②可得③将③式左右都平方，并整理成由于（定值）则存在极大值。即所以当，即时取等号。就是说，当（差不多是55º）

7、时，P点的电场强度最大：从以上各例当中可以看出，扎实的数学功底在处理物理问题当中显得很重要，这要求同学们在平时的练习中需要经常地有意识地训练自己、提升自己运用数学知识的能力。参考资料：无