2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)-理数-含答案

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1、2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分。考试用时120分钟。参考公式：柱体的体积公式，其中为柱体的底面积，为柱体的高。锥体的体积公式为，其中为锥体的底面积，为锥体的高。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设为虚数单位，则复数=A．B．C．D．【答案】D2.设集合，，则=A．B．C．D．【答案】C3.若向量，，则A．B．C．D．【答案】A4.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A．B．C．D．【答案】A5.已知变

2、量满足约束条件，则的最大值为A．12B．11C．3D．－1【答案】B6.某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A．12πB．45πC．57πD．81π【答案】C81.从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为0的概率是A．B．C．D．【答案】D2.对任意两个非零的平面向量α和β，定义。若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则=A．B.1C.D.【解析】：因为，且和都在集合中，，所以，，，所以所以，故有【答案】C二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分。（一）必做题（9-13题）3.不等式的解集为_____

3、。【答案】4.的展开式中的系数为______。（用数字作答）【答案】205.已知递增的等差数列满足，，则=____。【答案】6.曲线在点（1，3）处的切线方程为。【答案】81.执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为。【答案】8（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14，（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为（为参数）和（为参数），则曲线和的交点坐标为_______。【答案】（1，1）15.（几何证明选讲选做题）如图3，圆的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A

4、做圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA=_____________。【答案】三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16.（本小题满分12分）已知函数，（其中，）的最小正周期为10π。（1）求的值；（2）设，，，求的值。【答案】（1）；（2）817.（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50]，[50,60]，[60,70]，[70,80]，[80,90]，[90,100]。（1）求图中的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人

5、，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求得数学期望。【答案】（1）x=0.018；（2）01218.（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE。（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；【答案】（1）略；（2）819.（本小题满分14分）设数列的前项和为，满足，，且，，成等差数列。（1）求的值；（2）求数列的通项公式。（3）证明：对一切正整数，有.【解答】（1）；（2）；（3）当时又因为所以，所以，所以

6、，20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为3。（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上，是否存在点使得直线：与圆O：相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由。8【解答】：（1）由，所以设是椭圆上任意一点，则，所以所以，当时，有最大值，可得，所以故椭圆的方程为：（2）因为在椭圆上，所以，设，由，得所以，，可得并且：，所以，所以，设点O到直线AB的距离为，则所以设，由，得，所以，，8所以，当时，面积最大，最大为。此时，21.（本小题满分14分）设，集合

7、，，。（1）求集合（用区间表示）（2）求函数在内的极值点。【解答】：（1）对于方程判别式因为，所以①当时，，此时，所以；②当时，，此时，所以；当时，，设方程的两根为且，则，③当时，，，所以此时，④当时，，所以此时，（2），所以函数在区间上为减函数，在区间和上为增函数8①当时，因为，所以在D内没有极值点；②当时，，所以在D内有极大值点；③当时，由，很容易得到（可以用作差法，也可以用分析法）所以，在D内有极大值点；④当时，由，很容易得到此时，在D内没有极值点。综上：当或时，在D内没有极值点；当时，在D内有极大值点。8