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时间:2018-08-03
《和差化积、积化和差、万能公式》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、正、余弦和差化积公式 指高中数学三角函数部分的一组恒等式 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]【注意右式前的负号】 以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程
2、 因为 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ, 将以上两式的左右两边分别相加,得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ, 设α+β=θ,α-β=φ 那么 α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2 把α,β的值代入,即得 sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]编辑本段正切的和差化积 tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)(附证明) cotα±cotβ=sin(
3、β±α)/(sinα·sinβ) tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ) tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ) 证明:左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ =(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ) =sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边 ∴等式成立编辑本段注意事项 在应用和差化积时,必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名,必须用诱导公式化为同名;若是高次函数,必须用降幂公式降为一次 口诀
4、 正加正,正在前,余加余,余并肩 正减正,余在前,余减余,负正弦 反之亦然5 生动的口诀:(和差化积) 帅+帅=帅哥 帅-帅=哥帅 咕+咕=咕咕 哥-哥=负嫂嫂 反之亦然编辑本段记忆方法 和差化积公式的形式比较复杂,记忆中以下几个方面是难点,下面指出了各自的简单记忆方法。结果乘以2 这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1],其积的值域也应该是[-1,1],而和差的值域却是[-2,2],因此乘以2是必须的。 也可以通过其证明来记忆,因为展开两角和差公式后,
5、未抵消的两项相同而造成有系数2,如: cos(α-β)-cos(α+β) =[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)] =2sinαsinβ 故最后需要乘以2。只有同名三角函数能和差化积 无论是正弦函数还是余弦函数,都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。这一点主要是根据证明记忆,因为如果不是同名三角函数,两角和差公式展开后乘积项的形式都不同,就不会出现相抵消和相同的项,也就无法化简下去了。乘积项中的角要除以2 在和差化积公式的证明中,必须先把α和β表示成两角和差的形式
6、,才能够展开。熟知要使两个角的和、差分别等于α和β,这两个角应该是(α+β)/2和(α-β)/2,也就是乘积项中角的形式。 注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”,但位置不同;而只有和差化积公式中有“乘以2”。使用哪两种三角函数的积 这一点较好的记忆方法是拆分成两点,一是是否同名乘积,二是“半差角”(α-β)/2的三角函数名。5 是否同名乘积,仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中,余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积,正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以,余弦的和差化作同名三角函数的乘积;正弦
7、的和差化作异名三角函数的乘积。 (α-β)/2的三角函数名规律为:和化为积时,以cos(α-β)/2的形式出现;反之,以sin(α-β)/2的形式出现。 由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果要使和化为积,那么α和β调换位置对结果没有影响,也就是若把(α-β)/2替换为(β-α)/2,结果应当是一样的,从而(α-β)/2的形式是cos(α-β)/2;另一种情况可以类似说明。余弦-余弦差公式中的顺序相反/负号 这是一个特殊情况,完全可以死记下来。当然,也有其他方法可以帮助这种情况的判定,如(0,π]内余弦函数的单
8、调性。因为这个区间内余弦函数是单调减的,所以当α大于β时,cosα小于cosβ。但是这时对应的(α+β)/2和(α-β)/2在(0,π)的范围内,其正弦的乘积应大于0,所以要么反过来把cosβ放到cosα前面,要么就在式子的最前面加上负号。积化和差公式 sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2(注意:此时差的
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