资源描述：
《高中数学竞赛专题讲座---复数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、复数专题一复数与数列复数数列的题目主要体现对复数运算的规律性的把握．例1设数列是首项为48，公比为的等比复数列．（1）求．（2）将这个数列中的实数项，不改变原来的次序，从首项开始，排成，试求．（3）求无穷级数的和．解：（1）．．（2）使为实数的最小自然数是6，数列是首项为48，公比为的等比数列．所以．（3）这个级数是公比的无穷等比级数，从而和．例2今定义复数列如下，（，为正的常数．问复数的辐角的正切与哪一个值最接近？（当时）分析：寻求的一般式，再注意取极限的方法以及相关讨论．解：的辐角记作，．（1）当时，，所以．（2）当时，∴．例3（1）设在复数列之间有如下关系
2、：，其中是常复数．当时，试将的值用表示．（2）若（1）中的，求在圆（是复数）的内部总共含有的个数．解：（1）,……7于是，从得，．（2），所以,要使在圆的内部，它的充分必要条件是，∴．即，而，∴．又，能适合的只是．在逐个验证这五个点确信都在圆的内部，故符合条件的点共有5个．例4设平面上有点，如图所示，其中，线段，的长成首项为1，公比为的等比数列．（1）若，则当时，与哪一点无限接近？（2）将（1）中的极限点用表示．若固定而变动时，点所描述的是怎样的曲线？解：（1），此时，若将表示点的复数记作，则有，其中就是原点．于是．,因此，若，令，则，所表示的点与所表示的点最靠
3、近．（2），则有，固定，做变动，点总在以原点为圆心的圆周上．但因，故有．于是当点在以原点为中心，为半径的圆上，点相应的在以点为圆心，为半径的圆上．例5设在复平面上:（1）原点为，表示复数的点为，点由，的交角为所确定。试求表示点的复数。这里是实数。（2）点列由下述方式确定：取，取，由，以及的夹角所定义。试求被表示为复数。7（3）若（2）中，，且记，，将化简。解：（1）将表示的复数记作，则对有关系的点表示为复数，就是，从而，所以。（2）所表示的点，则用复数分别表示为。由，推出，因此，数列是首项为，公比为的等比数列。所以（是正整数）。所以。（3）数列仍为等比数列，故可
4、求得。专题二复数与几何1.有关轨迹问题：yxoCA例1已知一圆B及圆外一点A，在圆上任取一点Q，以AQ为边按逆时针作正三角形AQP，求点P的轨迹.解：如图：建立复平面，设，圆B半径为.P、Q分别对应复数为，则.令，，.故,.故点P的轨迹是圆，圆心对应的复数为，即，半径为.例2已知复数在复平面上分别对应点A、B、C，O为复平面的原点.(1)若，向量逆时针旋转，模变为原来的2倍后与向量重合，求；（2）若，试判断四边形OACB的形状.解：向量逆时针旋转，模变为原来的2倍所得的向量对应的复数为，而对应的复数为，故=.故整理可得：.(2),.又四边形OACB为平行四边形，
5、四边形OACB为菱形.2.复数的模与辐角求复数的辐角主值常有两种方法：(1)利用复数的三角式，应用三角函数的知识求解.(2)根据复数的几何意义，将问题转化为几何问题求解.例3设复数满足,求复数的辐角主值的最大值与最小值。解：可设,.设,由于故.7令则可先求出的最值。由得,,,即,故.Z1Z2AxoZy方法二:由，知对应的点Z在单位圆上，设A（2，0），根据复数减法的几何意义，复数对应的向量是.（如图），当射线AZ是圆O的切线时，对应的向量分别为，其中Z1，Z2为切点.连接OZ1，则，可知为直角三角形.由,故例4设求中辐角主值最大的复数.解：的点在以为圆心，以1为
6、半径的圆内（包括圆周），满足的点在单位圆内，（包括圆周），对应如图两圆共同部分.中辐角主值最大的复数P点对应的复数例5若,求证：成立的充分必要条件是中至少有一个是1.证：必要性：,,故有.根据互为共轭的复数间关系有：.化简整理得：,,、至少有一个为1。充分性：以上过程均可逆。结论成立。常用到的与复数的模相关的结论：（1）（2）
7、（3）（4）.（5）,ZAZ1Z2XOBy例6某草场上有宝.取宝法如下：该草场上原有一株橡树、一株松树、一个绞架.从绞架走到橡树，记住步数，向右拐走同样多步打个桩.然后回到绞架那里，再走到松树，记住步数，向左拐走同样多步，又打一个桩.在这
8、两个桩正中挖掘，可以得宝。年久日长，草场上绞架已经风化，渺无踪迹，但是橡、松二树犹存.问应如何取宝.解：取草场为复平面，以两棵树所在的直线为实轴，以两棵树连线的中点为原点O，建立如图所示的坐标系，设A、B为橡、松二树，其坐标分别为7（-1，0），（1，0）.令点Z表示绞架，Z1、Z2、Z0分别表示第一个桩、第二个桩以及两桩的中点.他们对应的复数分别表示为z,z1,z2,z0.由复数减法的几何意义，知对应的复数为；对应的复数为.依照乘法的几何几何意义，知可由逆时针旋转得到.,即同理,,其中点Z0对应的复数为.即Z0为虚轴上的点.∴不论绞架位置在哪儿，宝的位置总对应
9、虚轴上相应于复数为的那一
