高等数学(上)期末复习

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1、高等数学（上）复习21目录第一章极限与函数3第二章导数与微分8第三章微分中值定理与导数应用11第四章不定积分13第五章定积分17第六章定积分的应用1921高等数学（上）期末复习第一章极限与函数一、重点概念1.数列{Xn}有界是数列{Xn}收敛的必要条件。数列{Xn}收敛是数列{Xn}有界的充分条件。即：数列{Xn}收敛数列{Xn}有界（以上说明收敛的数列一定有界，有界的数列不一定收敛。另外，如果数列不仅有界，并且是单调的，那么这数列的极限必定存在。）2.ƒ(x)在x0的某一去心临域内有界是存在的必要条件。存在是ƒ(x)

2、在x0的某一去心邻域内有界的充分条件。即：存在ƒ(x)在x0的某一去心临域内有界3.ƒ(x)当时的右极限ƒ(x0+)及左极限ƒ(x0-)都存在且相等是存在的充分必要条件。4.有界函数与无穷小的乘积是无穷小。（※）如出现sin∞或者cos∞。做题时要配有说明。(注：y=arctanx为有界函数)215.复合函数的极限运算法则：6.β与α是等价无穷小的充分必要条件为β=α+o(α)7.间断点的类型：第一类间断点为左右极限都存在的间断点；第二类间断点为左右极限至少有一个不存在的点。（注：找间断点找没有意义的点）8.有界性与最

3、大值最小值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。9.零点定理：设函数ƒ(x)在闭区间[a,b]上连续，且ƒ（a）与ƒ(b)异号，那么在开区间至少存在一点ξ,使ƒ(ξ)=010.介值定理：设函数y=ƒ(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值，ƒ(a)=A及ƒ(b)=B。。那么，对于A与B之间的任意一个数，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得ƒ(ξ)=C(a<ξ

4、种不定式。(Ⅰ)型不定式求极限步骤：a.因式分解，有理化消掉零因子。21a.变量代换b.乘除运算利用等价无穷小c.洛必达法则（有些极限中带有积分的注意用此法）d.泰勒公式（不常用）补充：等价无穷小公式当x→0时(※※)sinx～xtanx～x(1-cosx)～arcsinx～xarctanx～xln(1+x)～x(ex-1)～xloga(1+x)～（ax-1）～xlna[(1+x)α-1]～αx洛必达法则若函数和满足下列条件：⑴,；⑵在点a的某去心邻域内两者都可导，且；⑶（可为实数，也可为±∞）则（Ⅱ）型不定式求极限步

5、骤a.同除无穷大量b.洛必达法则注：0·∞和∞-∞不定式可以转化为以上两种不定式。重点是出现分母！（Ⅲ）1∞型不定式求极限步骤a.底数必须出现数字“1”，如果没有“1”则加“1”21减“1”。a.底数中除了“1”以外的数配倒数。e之外的极限最好单独算。运用的重要极限为：计算此类问题的技巧：先配出来，再写原式，要写过程，防止出错。2.极限，连续，可导，间断点问题。①某点何时有极限？验证左右极限是否相等②何时连续？左极限=函数值，右极限=函数值，同时成立。③何时可导？连续，左导数=右导数④间断点？分母为零的点，左右极限都存

6、在即第一类间断点，否则，第二类间断点。三、本章补充知识点：1.反三角函数图像212.幂指函数的变换：3.指数函数的特殊性：对于要注意。21第二章导数与微分一、概念和求导题型1.函数在一点处的导数：①②2.导函数：3.ƒ(x)在点x0可导是ƒ(x)在点x0连续的充分条件。ƒ(x)在点x0连续是ƒ(x)在点x0可导的必要条件。即：如果函数y=ƒ(x)在点x处可导，则函数在该点必连续。另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。4.函数ƒ(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等。211.基本初等函数

7、的导数公式（※※）（tanx）＇＝sec2x(cotx)＇=-csc2x(ax)＇=axlna(logax)＇=(arcsinx)＇=(arctanx)＇=（注：千万不要记混啊！！！！！）2.反函数的求导法则：[ƒ-1（x）]＇=3.高阶导数:①一些基本初等函数n阶导数②莱布尼茨公式：(uv)(n) =u(n)v+nu(n-1)v＇+u(n-2)v"+．．．+u(n-k)v(k)+．．．+uv(n)8.幂指函数的导数①根据定义：21②对数求导法（另对于复杂的根式计算也可使用此法）9.参数方程求导：对于的求导法则为（参数

8、方程求导无论几阶导分母都为）10.函数的微分:千万不要忘记dx总结:幂函数、三角函数、指数函数的导数仍分别为幂函数、三角函数、指数函数。11.微分近似计算:12.ƒ(x)在点x0可导是ƒ(x)在点x0可微的充分必要条件。13.求单调区间时，单个区间全闭，多个区间注意不要重叠。14.求最值：先求极值点，后于端点值比较。二、本章补充知