正文描述:《第5章 中值定理 习题课》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第五章中值定理习题课一、主要内容1、中值定理从极值点处的导数性质出发,依次得到Fermat定理、Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理,应该准确掌握各个定理的内容,掌握定理证明的思想,掌握定理的几何意义,熟练掌握定理的应用。2、Taylor公式从微分的定义或中值定理出发,从近似计算的角度,得到了函数的高阶展开式,掌握常用的函数的Taylor公式,熟练掌握各种Taylor展开式的计算方法,掌握利用Taylor展开式计算极限的技巧。注、从定理的结论形式上看,中值定理和Taylor公式都能建立函数和导数的关系,但是,二者在
2、使用中是有差别的。中值定理只是建立了相差一阶导数的相邻函数的关系式,而且结论形式中,原函数的点可以是任意的(涉及到两个原函数的点,这两个点都可以是任意的),涉及到导数的点不具备任意性,它依赖于原函数中取定的两个点,因此,通常用于利用导函数的性质,研究原函数的性质,当然,若对相应的导函数用中值定理,可以用高阶导数的性质研究低一阶的导函数的性质;而Taylor公式中,展开点是可以任意选取的,因而,可以用于研究所涉及到的中间各阶导数的性质,特别是用两头控制中间的中间导数估计的问题。3、L’Hospital法则这是极限计算中一个非常重要的法
3、则,也是一个非常高级的法则,利用这一法则,使得一类非常重要,也非常复杂的极限的计算变得非常简单,因此,必须掌握法则的灵活的应用。4、应用利用上述理论,解决函数研究中的如零点问题、介值问题、中值问题、极值问题、最值问题、导数估计、单调性问题、凸性问题、不等式问题、函数展开、极限计算等各种关键而又重要的问题。二、典型例题1、零点问题(介值问题、中值问题)这里主要指涉及到导函数的零点问题,因而,处理的基本工具就是Fermat定理、Rolle定理和中值定理。但是,特别要注意的是,几个定理的根本的出发点就是极值点处的导数性质,这是处理这类问题
4、的基本思想,因此,在涉及到这类问题时,最简便的手段是直接利用相应的定理,但是当定理不能直接应用时,就要考虑最基本的思想了。例1(Rolle定理的推广形式)设在可导,67,证明:存在,使得。分析:例1的结论是是导函数的零点问题,是Rolle定理的推广形式,也称为推广的Rolle定理,因此,考虑用Rolle定理来证明,关键是寻找两个点和,使得,很显然,必须借助某一个共同的值,使得对应的两点的函数值与其相等,我们知道,使数值和函数值相等的方法途径有连续函数的介值定理,因此,这个数值必须选择恰当,处在两个函数值之间,因此,必须选定一个函数值
5、,再借助所给的极限条件来完成,证明过程就是将上述思想具体化。证明:设,则存在,使得。不妨设。(注、选定了一个函数值)任取,(选定介值)注意到利用极限的保序性,存在,使得由连续函数的介值定理,存在,使得。在上用Rolle定理即可。注、也可以用Rolle定理的思想证明,即确定内部极值点。事实上,设,则存在,使得。不妨设。利用极限的保序性,则存在和,使得因为,因此,存在最大值,即存在,使得,显然,,因而,,故,。例2设、在上可导,且,67,,证明存在,使得。分析导函数的零点问题,最直接的处理工具就是Rolle定理,因此,需要构造函数,使得
6、点是其导函数的零点,显然,这个函数很容易构造,剩下的工作就是验证Rolle定理或其推广定理的条件满足。证明:令,则由极限的夹逼定理,,因而,,由Rolle定理的推广形式,得存在,使得,即。注、当取一些特定的g(x)时,可以得到一些特殊的结论,如若取,则结论形式变为:存在,使得;再如,取,则结论形式变为:存在,使得。因此,对一些常用的定义、定理或结论,不仅要熟记,而且应该了解它们的一些变形和推广形式。例3设在非负且有直到3阶的连续导数,方程=0在有两个不同的实根,证明存在,使得。分析67从结论形式看,属于导函数的零点问题,最直接的处理
7、方法就是对二阶导函数利用Rolle定理,因而,必须寻求两个使得二阶导数相等的点,为此,只需寻找3个使得一阶导数相等的点,或寻找4个使函数值相等的点,这就是证明题目的出发点。在寻找这些点时,要注意一些特殊点处的性质,如函数的零点、一阶导函数的零点(驻点),而由Fermat定理,可导极值点一定是驻点,因此,确定极值点也是确定一阶导函数零点的方法。证明:设且使得,则由Rolle定理,存在,使得。(分析显然,剩下的两个一阶导数的零点要从极值点中寻找。)由于函数非负,因而,和是函数的两个极小值点,故,再次用Rolle定理,则存在,,使得因此,
8、存在,使得。例4设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可微且f(a)=f(b),证明:存在,使得。分析:仍是方程的根的问题或函数的零点问题,特别方程中含有导数项,因而,首要的工具应是Rolle定理,使其转化为导函数的根的问题。关键的
显示全部收起
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。