伯努利-欧拉错排问题的思考与推广

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1、伯努利-欧拉错排问题的思考与推广1.论文由来：学期初的时候，曾在作业题上见过这样一个题：假设有n个人同时间去一家影院看电影，每人一张电影票，且放映室内恰有n个位置，若这n个人随意坐到这n个座位上，求至少有一个人手里的电影票的座位号码恰与他实际所坐位置的座位号码相同的概率。记得当时我们解这个题的方法是用“减法原理”，即P=Ui=1nAi-UAiAj+UAiAjAk-⋯+UAi⋯An虽然用这种方法把题目解决了，但这个方法却只能解决类似“至少有一个人”、“至少有一次”等等的问题，适用性未免狭隘，所以我心里一直想寻找一种更为简便、适用性更广的方法。后来经过

2、查询相关资料，发现这类问题竟然大有来头，早在300多年前就有人研究过了，这类问题被称为“装错信封问题”。2.背景资料：“装错信封问题”被著名数学家欧拉称为“组合数论的一个妙题”，它是由当时的数学家约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利提出来的，大意如下：1个人写了n封不同的信，又写了n个不同的信封，如果他将这n封信都装错了信封，问都装错信封的方法共有多少种？并由此衍生出了相关的匹配问题。3.同一本质的两种解法：在查阅资料时，发现了一种直接给出的、看似比上文的方法更加简便的解法：PA=1-12!+13!-14!+⋯+-1n-11n!即PA=k=1n-1k-

3、1k!但是，实际上与前文的解法本质上是相同的，只是列写上稍有区别，理由如下：第一种解法中的P=Ui=1nAi-UAiAj+UAiAjAk-⋯+UAi⋯An继续化简可得=n-1!n!Cn1-n-2!n!Cn2+n-3!n!Cn3+⋯+-1m-1n-m!n!Cnm+⋯+-1n-11!n!Cnn=1-12!+13!-14!+⋯+-1n-11n!=k=1n-1k-1k!即为第二种方法所以说这两种方法是同一种解法的不同列写方式而已。4.推广：（1）.这n个人中无一人坐到了电影票所注明位置上的概率为PB=k=2n-1kk!证明：因为此事件的对立事件恰为“至少有

4、一个人手里的电影票的座位号码恰与他实际所坐位置的座位号码相同”，所以根据对立事件原理：PB=1-PA=1-k=1n-1k-1k!=k=2n-1kk!得证（2）.刚好有r（0≤r≤n）个人坐到了电影票所注明位置上的概率为Pr=1r!k=2n-r-1kk!证明：某指定的r个人坐到了电影票所注明位置上的概率为P1=1Anr由（1）式可得，其余n-r个人无一人坐到了电影票所注明位置上的概率为P2=k=2n-r-1kk!又因为这r个人是从n个人中任意选取的，所以其共有Cnr种取法所以有Pr=CnrP1P2=Cnr1Anrk=2n-r-1kk!=1r!k=2n

5、-r-1kk!得证显然，当r=0时，就等于（1）式。可以发现，推论（2）中引入了r后，使得推论（2）比起原先解法以及推论（1）更具有适用性。5.总结：将自己感兴趣的问题与数百年前的“装错信封问题”结合起来思考，并加以推广，也能得到很有意义并更具适用性的结论。概率论别有洞天，数学之美永无止境。参考文献：【1】李萍、叶鹰应用概率统计北京科学出版社2013【2】李亚兰匹配问题的推广吉首大学学报（自然科学版）2010131【1】李东强“装错信封问题”的数学模型与求解