用均值不等式求最值的类型及方法

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1、用均值不等式求最值的类型及方法一、几个重要的均值不等式①当且仅当a=b时，“=”号成立；②当且仅当a=b时，“=”号成立；③当且仅当a=b=c时,“=”号成立；④,当且仅当a=b=c时,“=”号成立.注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；②熟悉一个重要的不等式链：。二、函数图象及性质(1)函数图象：(2)函数性质：①值域：；②单调递增区间：，；单调递减区间：，.三、用均值不等式求最值的常见类型类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。例1、求函数的最小值。解析：，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最小值是。-4-

2、类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。例2、求下列函数的最大值：①②解析：①，∴，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最大值是1。②，则，欲求y的最大值，可先求y2的最大值。,当且仅当，即时，不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是。类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。例3、若x、y，求的最小值。解法一：（单调性法）由函数图象及性质知，当时，函数是减函数。证明：任取且，则，∵，∴，则，即在上是减函数。故当时，在上有最小值5。解法二：（配方法）因，则有，易知当时，且单调递减，则在上也是减函数，即在上是减函数，当时，在上有最小值5。-4-解法三

3、：（导数法）由得，当时，，则函数在上是减函数。故当时，在上有最小值5。解法四：（拆分法），当且仅当时“=”号成立，故此函数最小值是5。类型Ⅳ：条件最值问题。例4、已知正数x、y满足，求的最小值。解法一：（利用均值不等式）,当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。解法二：（消元法）由得，由则。当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。解法三：（三角换元法）令则有则，易求得时“=”号成立，故最小值是18。评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：。原因就是等号成立的条件不一致。-4-类型

4、Ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例5、已知正数满足，试求、的范围。解法一：由，则，即解得，当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是。又，当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是。解法二：由，知，则，由，则：，当且仅当，并求得时取“=”号，故的取值范围是。，当且仅当，并求得时取“=”号，故的取值范围是。练习：1、试填写两个正整数，满足条件，且使这两个正整数的和最小。2、试分别求：；最大值。3、求最小值。-4-