自控原理课件(修改)

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AUTOMATICCONTROL自动控制原理点击鼠标开始教材主编：陈铁牛课件编制：黄玮 自控系统的基本概念第1章1.1自动控制及自动控制理论的发展简述1.2自动控制的基本原理与方式1.3自动控制系统的分类1.4对自动控制系统的基本要求本章小结 自动控制技术在工业、农业、国防（尤其是在航天、制导、核能等方面）乃至日常生活和社会科学领域中都起着极其重的作用。如炉温控制、机械手的控制、人造卫星的轨道控制、造纸机卷取系统的张力恒定控制等等。1.1自动控制理论的发展简述 自动控制，是指在无人直接参与的情况下，利用外加的设备或装置，使机器、设备或生产过程的某个工作状态或参数自动地按照预定的规律运行控制装置或控制器被控对象被控量自动控制系统，是由控制器、被控对象等部件为了一定的目的有机的地联接成的一个进行自动控制的整体。例如：在燃油炉温度的控制系统中，调节炉子温度的如电动机、阀门等就是控制器；燃油炉就是被控对象；而炉子的温度就是被控量；炉子正常工作所设定的温度就是给定量。给定量例如：在燃油炉温度的控制系统中，调节炉子温度的如电动机、阀门等就是控制器；燃油炉就是被控对象；而炉子的温度就是被控量；炉子正常工作所设定的温度就是给定量。1.1自动控制理论的发展简述 经典控制理论主要用于工业控制1788年瓦特发明蒸汽机的同时，发明了离心式调速器，使蒸汽机转速保持恒定，这是最早的被用于工业的自动控制装置第二次世界大战期间，对于军用装备的设计与制造的强烈需求，进一步促进并完善了自动控制理论的发展（如飞机及船用自动驾驶仪、火炮定位系统、雷达跟踪系统等）现代控制理论，主要研究多输入和多输出、时变和非线性等控制系统的分析与设计问题，有线性系统理论、最优控制理论、最佳滤波、自适应控制、系统辩识、随机控制等。主要代表有：Kalman的滤波器，Pontryagin的极大值原理，Bellman的动态规划和Lyapunov的稳定性理论。大系统理论和智能控制理论，称为第三代控制理论。发展初期20世纪60年代目前研究方向现代控制理论广泛应用于工农业、国防及日常生活经典控制理论，主要以传递函数为数学工具，采用频率方法，研究单输入—单输出的线性定常系统的分析和设计问题，并在工程上比较成功地解决了如恒值控制系统与随动控制系统的设计与实践问题。著名的控制科学家有：Black,Nyquist,Bode.1.1自动控制理论的发展简述 现代控制理论与运筹学相结合的产物，采用数学模型，通过分解－协调或分解－集结方法，将控制理论中的稳定性理论，最优化控制理论，多变量控制理论和运筹学中的线性规划、非线性规划等加以推广，应用于大系统的分析和综合大系统理论1.1自动控制理论的发展简述 智能控制智能控制是将认知科学、多种数学编程和控制技术结合起来的，形成感知—交互式、以目标导向的控制系统。系统可以进行规划、决策，产生有效的、有目的的行为，在不确定环境中，达到既定的目标。1.1自动控制理论的发展简述 自动控制电位器放大器电动机给定电压Ur负载力矩n测速发动机整流器UaUcUdUf人工控制分析比较执行电动机转速表干扰实际转速希望值眼观测1.2.1人工控制与自动控制1.2自动控制的基本原理与方式转速表触发器整流器负载三相交流＋UaUfUrM给定电位器—触发器整流器三相交流给定电位器＋UaUfUr放大器TGM负载 1.2.2开环控制和闭环控制计算／放大执行器被控对象给定量被控量干扰比较／计算执行器被控对象测量干扰被控量给定量开环控制系统是指无被控量反馈的系统，即在系统中控制信息的流动未形成闭合回路闭环控制就是有被控量反馈的控制，即系统的输出信号沿反馈通道又回到系统的输入端，构成闭合通道，也叫做反馈控制。1.2自动控制的基本原理与方式 1.2.3自动控制系统的组成给定装置比较装置串联校正装置比较、放大装置执行装置被控对象反馈校正装置测量与变送局部反馈系统主反馈干扰输入值被控量检测被控量，将检测值转换为便于处理的信号，再将该信号输入比较装置。控制系统中所要控制的对象直接对被控对象作用，以改变被控量的值将给定量与测量值进行运算得到偏差量设定与被控量相对应的给定量在系统中添加的用以改善系统的控制性能的装置开始1.2自动控制的基本原理与方式 1.2.4自动控制系统实例炉温控制系统液位控制系统舵轮随动系统1.2自动控制的基本原理与方式 给定电位器电动机UrUaUtT工件燃油炉混合器阀门空气燃油Q热电偶炉温控制系统电位器电动机燃油炉与T对应的给定阻值工件温度等t热电偶阀门ΔUUa混合器nQ放大器放大器UUt被控对象T:给定温度t:被控量控制器比较放大装置测量变送装置开始原理方框图1.2自动控制的基本原理与方式 液位控制系统电动机阀门L2阀门L1减速器电位器浮子及连杆进水量Q1出水量Q2给定液位H电位器电动机水箱给定阻值Q2h浮子连杆阀门L1Uan1减速器n2Q1开始原理方框图被控对象H:给定高度h:实际高度控制器比较装置测量变送装置干扰1.2自动控制的基本原理与方式 舵轮随动系统电位器舵轮UrUcUaU舵减速器θcABθr电位器A比较放大干扰力矩n电位器B电动机减速装置UcUr舵Uθrθc开始原理方框图被控对象输入设定装置控制器比较放大装置测量变送装置1.2自动控制的基本原理与方式 给定量按事先设定的规律而变化1.3自动控制系统的分类常常称作伺服系统，它的特征是给定量是变化的，而且其变化规律是未知的按给定量特征分类按系统中元件特性分类按系统中信号形式分类恒值给定控制系统的特征是给定量一经设定就维持不变恒值给定系统随动系统程序给定系统系统中所有元件都是线性元件系统中含有一个或多个非线性元件线性系统非线性系统连续控制系统数字控制系统系统中所有的信号都是连续时间变量的函数系统中各种参数及信号在是以在时间上是离散的数码形式或脉冲序列传递的，所以可以采用数字计算机来参与生产过程的控制注意：每个标题按一下显示内容，再按一下结束显示 1.4自动控制系统的基本要求自动控制系统的任务：被控量和给定值，在任何时候都相等或保持一个固定的比例关系，没有任何偏差，而且不受干扰的影响系统的动态过程，也称为过渡过程，是指系统受到外加信号(给定值或干扰)作用后，被控量随时间变化的全过程自动控制的性能指标：反映系统控制性能优劣的指标，工程上常常从稳定性、快速性、准确性三个方面来评价稳定性快速性准确性图示控制系统动态过程的振荡倾向和重新恢复平衡工作状态的能力，是评价系统能否正常工作的重要性能指标控制系统过渡过程的时间长短，是评价稳定系统暂态性能的指标控制系统过渡过程结束后，或系统受干扰重新恢复平衡状态时，最终保持的精度，是反映过渡过程后期性能的指标 tc(t)r(t)0(a)tc(t)r(t)0(b)tc(t)r(t)0(c)tc(t)r(t)0(d)开始开始开始开始1.4自动控制系统的基本要求 自动控制系统讨论的主要问题是系统动态过程的性能，主要性能归纳起来就是三个字：稳、快、准。自动控制原理是分析设计自动控制系统的理论基础，可分为经典控制理论和现代控制理论两大部分。自动控制系统最基本的控制方式是闭环控制，也称反馈控制，它的基本原理是利用偏差纠正偏差。自动控制系统的方框图是对系统物理特性的抽象表示，它描述系统的主要矛盾和内在联系，是研究自动控制系统的有效工具。第1章小结 自控系统的数学描述第2章2.1控制系统的微分方程2.2传递函数2.3动态结构图与梅森公式2.4控制系统的几种常用传递函数本章小结 对实际系统或元件加入一定形式的输入信号，根据输入信号与输出信号间的关系来建立数学模型的方法根据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律，列写出各变量间的数学表达式，从而建立起数学模型的方法2.1控制系统的微分方程2.1.1系统微分方程的建立控制系统的数学模型是指描述系统或元件输入量、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式。而把描述各变量动态关系的数学表达式称为动态模型。常用的动态数学模型有微分方程、传递函数及动态结构图。建立数学模型，可以使用解析法和实验法解析法实验法解析法建立微分方程的一般步骤是 2.1控制系统的微分方程解析法建立微分方程的一般步骤是根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入、输出量；标准化工作:将与输入有关的各项放在等号的右侧，即将与输出有关的各项放在等号的左侧，并按照降幂排列。从输入端开始，按照信号的传递时序及方向，根据各变量所遵循的物理、化学定律，列写出变化（运动）过程中的微分方程组；消去中间变量，得到只包含输入、输出量的微分方程；最后将系数归化为具有一定物理意义的形式。12345一个微分方程建立的例子 2.1控制系统的微分方程一个微分方程建立的例子UrUciRC试列写图示的RC无源网络的微分方程根据电路理论的克希霍夫定律，列写方程其中i为中间变量，Ur为输入量，Uc为输出量，消去中间变量得：令RC=T（时间常数），则有：RC无源网络的动态数学模型为一阶常系数线性微分方程。 2.1控制系统的微分方程2.1.2线性微分方程的求解为复变量，其线性积分如果存在，就称其为函数f(t)的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），记作并称F(s)为f(t)的象函数或变换函数，f(t)称为F(s)的原函数。有函数f(t)，t为实变量拉氏变换定义拉氏变换的几个基本定理几种典型函数的拉氏变换线性定理2.微分定理F(t)及其各阶导数在t-0时的值都为零则有3.积分定理F(t)及其各重积分在t-0时的值都为零则有4.位移定理实域位移定理复域位移定理5.终值定理函数名称时间曲线数学表达式拉氏变换阶跃函数F(s)=1/s斜坡函数F(s)=1/s2加速函数F(s)=1/s3指数函数F(s)=1/(s-a)正、余弦函数F(s)=ω/(s2-ω2)F(s)=s/(s2-ω2)0f(t)t10f(t)t0f(t)t0f(t)t0f(t)t1正弦余弦几个实例 已知，求F(s)。这里A是常数。解：因为A是常数，所以，根据线性定理则有已知，求F(s)。求的拉氏变换。解：根据实域位移定理则有解：根据复域位移定理则有例一例三例二2.1控制系统的微分方程 拉氏反变换拉氏变换的逆运算称为拉氏反变换，该式是拉氏反变换的数学定义，而在实际应用中常常采用的方法是：先将F(s)分解为一些简单的有理分式函数之和，这些函数基本上都是前面介绍过的典型函数形式；然后由拉氏变换求出其反变换函数，即原函数f(t)。设F(s)的一般表达式为(通常都是s的有理分式函数)式中的a1、a2...an以及b1、b2...bm为实数，m、n为正数，且m1，方程有两个不等的负实根，输出无振荡②临界阻尼ζ＝1，方程有一对相等的负实根，输出无振荡③欠阻尼0<ζ<1，方程有一对实部为负数的共轭复根，输出振荡3.3二阶系统的时域分析 3.3.3二阶系统的单位阶跃响应3.3二阶系统的时域分析二阶系统输出的一般式为式中s1、s2为系统特征根，而二阶系统单位阶跃响应通用曲线ξ≥1时，阶跃响应表现为无振荡的单调上升曲线，以ξ=1时的过渡过程时间最短。ξ=0时系统响应变成等幅振荡；在欠阻尼情况中，ξ减小，响应的初始阶段较快，但响应振荡特性加剧，取0.4<ξ<0.8时，过渡过程时间短，振荡也不剧烈，ξ=0.707时系统响应性能指标最优，称为最佳阻尼比。 ②临界阻尼(ξ=1)时的单位阶跃响应（）响应的稳态分量为1，暂态分量随着时间的推移最终衰减到零，ess=0。3.3二阶系统的时域分析①过阻尼（ξ>1）时的单位阶跃响应（）响应的稳态分量为1；暂态响应分量由两项负指数函数之和组成，且后面的指数项较前面的指数项衰减得快，随着时间的推移，暂态分量最终衰减到零，ess=0。 ③零阻尼(ξ=0)时的单位阶跃响应（）c(t)=1-cosωnt响应的稳态分量为1；暂态分量为余弦函数，整个响应曲线以ωn为角频率的等幅振荡。④欠阻尼(0<ξ<1)时的单位阶跃响应（）稳态分量为1，暂态分量为振幅随时间按负指数规律衰减的周期函数，其振荡角频率为ωd，由于，可见ξ的值越大，振幅衰减越快，最终衰减到零，响应频率越快ess=0。(β＝arccosξ)3.3二阶系统的时域分析 3.3二阶系统的时域分析一个二阶系统分析的例子典型二阶系统欠阻尼时的动态性能指标上升时间tr峰值时间tp超调量σ%调节时间ts 一个二阶系统分析的例子已知某单位负反馈系统的开环传函为：设系统的输入量为单位阶跃函数，试计算放大器的增益KA=200时，系统输出响应的动态性能指标。若KA增大到1500或减小到13.5时，求系统的动态性能指标。解：系统的闭环传递函数为1.KA=200时，代入上式求得：ωn＝31.5rad/s；ξ＝0.545，代入二阶欠阻尼系统动态性能指标的计算公式，可得：2.KA=1500时，求得：ωn＝86.2rad/s；ξ＝0.2，同理可求得动态指标：3.KA=13.5时，得：ωn=8.22rad/s；ξ＝3.1>1，此时系统为过阻尼情况，峰值时间和超调量不存在，而调节时间为：KA=200时KA=1500时KA=13.5时3.3二阶系统的时域分析 3.3.4二阶系统性能的改善系统超调大的原因是在系统响应接近稳态值时，积累的速度过快而使超调过大，为了减小超调，抑制振荡可以引入一个与速度有关的负反馈，适当地压低速度，从而提高平稳性。两种常用的改善系统性能的方法是引入输出量的速度反馈控制或者采用误差信号的比例-微分控制。输出量的速度反馈控制误差信号的比例-微分控制速度反馈的开环增益降低会加大系统在斜坡输入时的稳态误差。速度反馈不影响系统的自然频率。可增大系统的阻尼比。速度反馈不形成闭环零点。适当选择开环增益，以使系统在斜坡输入时的稳态误差减小，单位阶跃输入时有满意的动态性能。比例－微分控制不影响系统的自然频率。由于阻尼比，可通过适当选择微分时间常数改变阻尼的大小。由于微分时对噪声有放大作用(高频噪声)，所以输入噪声大时，不宜采用。3.3二阶系统的时域分析 3.4控制系统的稳定性分析3.4.1稳定的基本概念线性系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。稳定性是系统的固有特性，是扰动消失后系统自身的恢复能力。对线性定常系统，当输入为零时，输出为零的点为其唯一的平衡点。当系统输入信号为零时，在非零初始条件作用下，如果系统的输出信号随时间的推移而趋于零，即系统能够自行回到平衡点，则称该线性定常系统是稳定的。或者说，如果线性定常系统时间响应中的初始条件分量（零输入响应）趋于零，则系统是稳定的，否则系统是不稳定的。 3.4控制系统的稳定性分析3.4.2稳定的充分必要条件任何一个系统的输出都可以表达为：其中：M(S)称为输入端算子式；D(S)称为输出端算子式；M0(S)是与系统初态有关的多项式。C(S)可以展开为：其中：Si为D(S)之根，Srj为之根R(S)之根，Ai0、Bj、Ci为待定系数。系统响应C(t)为：综合上述分析可得出线性系统稳定的充要条件为：系统的所有特征根具有负实部，或者说所有特征根位于[s]平面的左半面，即Re[si]<0第一、二项(稳态分量)为零状态响应；第三项为初始状态作用下的零输入响应。根据稳定的定义可知，线性定常系统的稳定性是由零输入响应所决定的。因此要系统稳定，只需零输入响应渐近为零。 3.4控制系统的稳定性分析3.4.3劳斯(Routh)稳定判据系统的特征方程D(S)=a0Sn+a1Sn-1+……+an=0劳斯(Routh)稳定判据①a0.......an>0；②劳斯阵列中第一列元素全部为正；③劳斯阵列第一列中出现负数，系统不稳定，且符号改变次数代表正实根的数目。Sna0a2a4a6……Sn-1a1a3a5a7……Sn-2…………Sn-3………………Sn-4……………………………………………S0…………………………劳斯阵列的编制方法特征方程的系数 3.4控制系统的稳定性分析3.4.4代数稳定判据的应用判别系统稳定性例如某系统的特征方程为试判定系统的稳定性。解：劳斯阵列如下00200132023S4S3S2S1S0由于劳斯阵列第一列元素不全为正，因此由劳斯稳定判据系统不稳定。第一列元素符号由7/3变为-4/7，再由-4/7变为2，即改变次数为两次。因此由劳斯稳定判据还可以得出系统特征方程的特征根有两个位于s的右半平面。分析系统参数变化对稳定性影响利用代数稳定判据可确定系统个别参数变化对稳定性的影响，以及为使系统稳定，这些参数应取值的范围。若讨论的参数为开环放大倍数，使系统稳定的开环放大倍数的临界值称为临界放大倍数。 3.4控制系统的稳定性分析S3S2S1S0140K14K设单位负反馈系统的开环传为试求保证闭环系统稳定的开环增益K的可调范围。解系统的闭环传函为由此可得闭环系统的特征方程式为D(s)=s3+14s2+40s+K=0根据稳定条件：，K＞0得：0＜K＜560 稳态误差定义为稳定系统误差的终值，用ess表示，即。它是衡量系统最终控制精度的重要性能指标。3.5控制系统的稳态误差分析3.5.1误差与稳态误差G1(s)G2(s)H(s)c(t)n(t)r(t)b(t)-e(t)系统误差定义为e(t)=r(t)-b(t)r(t)相当于代表希望值的指令输入，而b(t)相当于被控量c(t)的测量值（且b(t)与r(t)同量纲），H(s)为检测元件系统典型结构图 3.5控制系统的稳态误差分析3.5.2稳态误差的计算如果系统的误差的拉氏变换E(s)在[s]的右半面及除原点外的虚轴上没有极点，则其稳态误差可用拉氏变换的终值定理进行求解：令系统对输入指令的误差传递函数Фer(s)和系统对干扰的误差传递函数Фen(s)分别为则可将误差表示为：一个计算稳态误差的例子 一个计算稳态误差的例子已知r(t)=t，n(t)=-1(t)，试计算系统的稳态误差ess。1.首先判别系统的稳定性。根据上图系统的特征方程为：D(s)=s(0.02s+1)(s+1)+10=0.02s3+1.02s2+s+10ab∴系统稳定c解：3.5控制系统的稳态误差分析 a2.求Ｅ(s)bc3.求稳态误差3.5控制系统的稳态误差分析 3.5控制系统的稳态误差分析3.5.3系统的型别K:为系统的开环增益设系统开环传递函数为ν=0，系统就称为0型；ν=1，系统就称为1型；ν=2，系统就称为2型；......ν为积分环节数 3.5控制系统的稳态误差分析3.5.4利用型别求取r(t)作用下的稳态误差r(t)作用下典型系统结构图G(s)H(s)R(s)C(s)B(s)_E(s)只考虑r(t)作用时，系统的误差拉氏变换为在系统稳定时，则系统的稳态误差为r(t)=R0·1(t)R(s)=R0/sr(t)=V0tR(s)=V0/s2r(t)=a0t2/2R(s)=a0/s3 3.5控制系统的稳态误差分析ess与G(S)H(S)型别的关系表000V>2a0/K00V=2∞V0/K0V=1∞∞R0/(1+K)V=0a0S3V0S2R0S输入信号essV 3.5控制系统的稳态误差分析5R(S)C(S)_E(S)1/S(1+5S)1+0.8S已知：t(r)＝1+t+t2/2，求essn。解：先将上图变为单位负反馈系统。D(S)=S2+S+1=05R(S)C(S)_E(S)1/S(1+5S)0.8S_G(S)=5S(5S+1)1+[5/S(5S+1)]×0.8S=1/S(S+1)系统稳定。由G(S)可知系统为I型系统：ess1=0；ess2=1/kp=1/k=1；ess3=∞；ess=ess1＋ess2＋ess3=∞ 3.5控制系统的稳态误差分析essn与G1(S)，G2(S)型别的关系表－a0/K100V1=2V2任意∞－V0/K10V1=1V2任意∞∞－R0/K1V1=0V2≠0∞∞－K2R0/(1+K1K2)V1=V2=0a0S3V0S2R0S信号essnV1V23.5.5利用型别求取n(t)作用下的稳态误差G1(s)G2(s)H(s)c(t)n(t)r(t)b(t)-e(t) 第3章小结时域分析法是通过求解控制系统在典型输入信号作用下的时间响应来分析系统稳定性、快速性和准确性，以系统阶跃响应的超调量、调节时间和稳态误差等性能指标来评价系统性能的优劣。一阶系统的性能指标主要决定时间常数T（调节时间ts）；二阶系统的欠阻尼时的响应及性能指标分析占有重要的位置，它是高阶系统分析的基础。稳态误差是系统控制精度的度量，也是系统的一个重要性能指标。重点掌握根据系统型别和稳态误差系数，按输入端定义的给定输入作用下稳态误差的计算方法。稳定的充要条件是系统闭环特征方程的根全部位于s的左半面；判别系统稳定性的方法有劳斯稳定判据。 根轨迹分析法第4章4.1根轨迹概念与根轨迹方程4.2绘制根轨迹的基本规则和方法4.3用根轨迹分析控制系统4.4根轨迹的改造本章小结 4.1根轨迹的概念与根轨迹方程4.1.1系统的根轨迹根轨迹是指系统某参数（如开环增益K*）由零增加到∞时，闭环特征根在s平面移动的轨迹上图系统的闭环传函为系统的闭环特征方程式为系统的特征根为分析K*和根的关系当根轨迹增益K*由零变到无穷时，该系统的根轨均在s左半面，因此系统是稳定的。当01,故统呈过阻尼状态；K*=1时，系统闭环特征根为二个相等实数根，呈临界阻尼状态；K*>1时，系统闭环特征根为一对负实部的共轭复数根，呈欠阻尼状态。K越大，共轭复数根离对称轴（实轴）越远。-2-10××σK=0K=1K=01K→∞-j2-2jK=1K→∞jω画出根轨迹图如下分析回看 4.1根轨迹的概念与根轨迹方程4.1.2根轨迹方程系统的根轨迹方程（系统闭环特征方程）为系统的闭环传函为其中相角条件是确定根轨迹s平面上一点是否在根轨迹上的充分必要条件。即模值方程相角方程 4.2绘制根轨迹的基本规则和方法4.2.1根轨迹的分支数4.2.2根轨迹的起点和终点4.2.3根轨迹的对称性n阶系统的特征方程有n个特征根，将有n条根轨迹。根轨迹的起点，是指K*＝０时特征根在s平面上的位置，根轨迹的终点是指K*→∞时的特征根在s平面上的位置。根轨迹起始于开环极点（包括无限远极点），终止于开环零点（包括无限远零点）从n个开环极点pi开始m条终于开环零点zj开始，(n-m)条趋于无穷复平面上的每一个（对）根均对称于实轴。 4.2绘制根轨迹的基本规则和方法4.2.4实轴上的根轨迹4.2.5根轨迹的渐近线方位实轴上的根轨迹存在的条件是：实轴上根轨迹段右侧实轴上开环零点和开环极点数之和为奇数，而与复平面上的开环零极点无关。如果开环零点数m小于开环极点数n，则系统共有(n-m)条根轨迹条趋向无穷远处，其方位可由渐近线决定渐近线与实轴正方向的夹角一直到获得(n-m)个倾角为止式中k依次取渐近线与实轴交点坐标 4.2绘制根轨迹的基本规则和方法4.2.6根轨迹与虚轴的交点根轨迹和虚轴交点的坐标及相应的值，可在特征方程中令，然后使特征方程的实部和虚部分别为零求得4.2.7根轨迹的起始角和终止角×××z1p3jωp1θz1σ0θp1p2z2根轨迹的起始角，是指根轨迹在起点处的切线与水平方的夹角；根轨迹的终止角是指终于开环零点的根轨迹在该点处的切线与水平方向的夹角。一般系统开环复极点的起始角为：系统开环零点的终止角公式为： 4.2绘制根轨迹的基本规则和方法4.2.8根轨迹分离点（或汇合点）d的求取4.2.9闭环特征根之和两条或两条以上根轨迹分支，在s平面上某处相遇后又分开的点，称做根轨迹的分离点（或汇合点），用d表示。根据相角条件可以推证，分离点d可用下式求得：当系统的开环极点数n比开环零点数m多两个或两个以上时，n个闭环极点之和等于n个开环极点之和，为常数：该式表明当根轨迹增益变动，使某些闭环根轨迹分支在s平面上向左移动时，则必有另一些根轨迹分支向右移动，而保持闭环极点为常数即此时根轨迹重心不变。 4.2绘制根轨迹的基本规则和方法4.2.10根轨迹放大系数的求取式中：分别表示sl点到开环极点和开环零点的距离，若无开环零点，则上式分子为1。一个绘制根轨迹的例子已知单位反馈的开环传递函数为请绘制系统的根轨迹。 4.2绘制根轨迹的基本规则和方法K*=？1234系统有二条根轨迹，分别起始于0、-1、-4、-4，终止于-10和无穷远；实轴根轨迹区间是[-1，0]、(-∞，-10]；根轨迹的渐近线：，用试探法求得轨迹的分离点：故分离点为5根轨迹与虚轴的交点：将代入特征方程解得67绘出根轨迹图如下： 4.3用根轨迹分析控制系统4.3.1主导极点、偶极子概念主导极点：在闭环极点中离虚轴最近、而且附近又无零点的闭环极点，对系统的响应影响最大，起着主要作用的极点。偶极子是指一对靠得很近的闭环零、极点。由于构成偶极子的闭环极点的相应项数值可能很小，它对系统的影响可忽略不计。利用偶极子概念可以有意地在系统中设置适当的零点，以抵消对动态过程影响较大的不利极点，用以改善系统的性能；对于高阶系统，运用主导极点概念，快速估价系统的基本特性。 4.3用根轨迹分析控制系统4.3.2系统分析一系统开环传递函数为，写成标准式为根据前面的方法绘出根轨迹图：=0.5β=0.5相对应的开环放大倍数为：K=K*/2=0.58由图求出ζ=0.5时闭环主导极点为本系统n-m=3>2，满足根之和不变的条件，根据上面的K值求出第三个根为：s3对虚轴的距离是s1、s2的7倍，所以系统可以降为二阶，其闭环传函为：二阶性能估算 4.4根轨迹的改造4.4.1增加开环零点对根轨迹的影响2个极点重合在原点增加开环零点可以使系统根轨迹向左移动或弯曲，有利于改善系统的稳定性及暂态性能，适当地选择附加零点的位置，可以使系统的阶跃响应具有较快的响应速度，且调整时间不致太长，超调量也不太大。 4.4根轨迹的改造4.4.2增加开环极点对根轨迹的影响增加一个开环极点-pc，当分别取-p1、-p2、-p3，且有-p1＜-p2＜-p3时，根轨迹的变化情况如图中虚线所示改变了根轨迹在实轴上的分布；改变了渐近线的条数、方向角及与实轴的交点；使根轨迹向右偏移或弯曲，不利于系统的稳定性及暂态性能。增加开环极点对根轨迹有如下影响： 4.4根轨迹的改造4.4.3增加开环偶极子对根轨迹的影响可见，在原点附近增加开环偶极子，能够在不影响系统暂态特性的情况下，提高系统的开环增益，改善系统的稳态精度。开环增益K与根轨迹增益K*之间的关系为原点附近增加一对开环负偶极子－zc和－pc，且假设zc=Apc(A>1) 第4章小结根轨迹是一种图解的方法。利用根轨迹能够分析结构和参数已确定的系统的稳定性和暂态响应特性。还可以用来改造一个系统使其根轨迹满足自动控制系统期望的要求。绘制根轨迹应把握住本章介绍的10条基本规则：即绘制根轨迹首先用起、终点法则、渐近线法则、实轴区段法则及根之和法则判断总体的特征，然后再计算虚轴交点等，以尽可能避免全局失误。增加合适的开环零点，有利于改善系统的稳定性及暂态性能；增加开环极点，不利于系统的稳定性及暂态性能；在原点附近增加合适的开环偶极子，能够提高系统的开环增益，改善系统的稳态精度。如果系统存在主导极点，则高阶系统可以降阶为一阶或二阶系统来估算其性能指标。 频域分析法第5章5.1频率特性的基本概念5.2典型环节的频率特性5.3系统的开环频率特性5.4频域法分析闭环系统的稳定性5.5用开环频率特性分析系统的性能本章小结 5.1频率特性的基本概念5.1.1频率特性的定义一个线性定常系统，在它的输入加一个振幅为Ar，角频率为ω和初相为φ1的正弦信号，那么经过一段过渡过程而达到稳态后，系统的输出端也将输出一同频率的正弦信号，只是输出信号的振幅Ac和初相φ2有所变化。 5.1频率特性的基本概念G(jω)称为系统的频率特性，它表示了系统在正弦作用下，稳态输出的振幅，相位随频率变化的关系。称为系统的幅频特性φ(ω)=∠G(jω)称为系统的相频特性表示输出正弦量的相量表示输入正弦量的相量频率特性的复数形式： 5.1频率特性的基本概念5.1.2频率特性与传递函数的关系频率特性和传递函数之间的关系。如果已知系统（或环节）的传递函数，只要用jω置换其中的s，就可以得到该系统（或环节）的频率特性；反过来看，如果能用实验方法获得系统（或元部件）的频率特性，则可由频率特性确定出系统（或元部件）的传递函数。 5.1频率特性的基本概念5.1.3频率特性的图示方法Nyquist图也称幅相频率特性曲线，就是当ω从0→∞变化时，向量G(jω)的矢端轨迹。-90-78.7-76-71.5-63.5-45-260φ(ω)=-arctanωT(度)00.200.240.320.450.710.891∞0ωjNyquist图注意:相角φ(ω)的大小与正负，要从正实轴开始按送逆时针方向为正，顺时针方向为负进行计算。 5.1频率特性的基本概念Bode图也称对数频率特性，就是将A(ω)和φ(ω)分别表示在两个图上，横坐标采用对数刻度。L(ω)Bode图对数相频特性：纵轴均匀刻度，标以φ(ω)值(单位为度)；横轴刻度及标值方法与幅频特性相同。对数频率特性定义为：L(ω)=20lgA(ω)dBL(ω)的图形就是Bode图 5.2典型环节的频率特性5.2.1比例环节传递函数：G(s)=K频率特性：G(jω)=K幅频特性：A(ω)=K相频特性：φ(ω)=0对数幅频和相频特性：L(ω)=20lgA(ω)=20lgKφ(ω)=0 5.2典型环节的频率特性5.2.2积分环节传递函数：G(s)=1/s频率特性：G(jω)=幅频特性：A(ω)=相频特性：φ(ω)=-90°对数幅频和相频特性：L(ω)=20lgA(ω)=-20lgωφ(ω)=-90° 5.2典型环节的频率特性5.2.3惯性环节传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：对数幅频和相频特性： 5.2典型环节的频率特性5.2.4微分环节传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：对数幅频和相频特性： 5.2典型环节的频率特性5.2.5振荡环节传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：对数幅频和相频特性： 5.2典型环节的频率特性5.2.6延迟环节传递函数：G(s)=e-τs频率特性：G(jω)=1∠-ωτ幅频特性：A(ω)=1相频特性：对数幅频和相频特性： 5.3系统的开环频率特性5.3.1系统开环幅相频率特性设系统开环传递函数为：G(s)=G1(s)G2(s)……Gn(s)对应的频率特性为：G(jω)=G1(jω)G2(jω)……Gn(jω)=A1(ω)∠φ1(ω)A2(ω)∠φ2(ω)……An(ω)∠φn(ω)=A(ω)∠φ(ω)概略绘制幅频率特性曲线的方法是：（1）确定幅相频率的起始点和终止点是：起始点：（2）确定曲线实轴的交点，即令Im[G(jω)]=0，得交点频率ωx,再代入G(jω)，可得交点坐标Re[G(jωx)]。（3）确定曲线的变化趋势，即φ(ω)的变化范围。终止点： 5.3系统的开环频率特性5.3.2系统开环对数频率特性系统的频率特性为：G(jω)=G1(jω)G2(jω)……Gn(jω)=A1(ω)∠φ1(ω)A2(ω)∠φ2(ω)……An(ω)∠φn(ω)=A(ω)∠φ(ω)则系统的对数频率特性为：L(ω)=20lgA1(ω)+20lgA2(ω)+…+20lgAn(ω)φ(ω)=φ1(ω)+φ2(ω)+…+φn(ω)因此，画出G(jω)所含典型环节的对数幅频和相频曲线，对它们分别进行代数相加，就可以得到开环系统的对数幅频特性和相频特性曲线。直接绘制开环对数频率特性的例子 绘制Bode图确定典型环节及其转折频率5.3系统的开环频率特性直接绘制开环对数频率特性的例子已知开环传递函数试绘制系统开环对数频率特性写出系统标准开环传递函数123比例环节微分环节惯性环节振荡环节积分环节 5.3系统的开环频率特性5.3.3最小相位和非最小相位系统在s右半平面上既无极点，又无零点的传递函数，称为最小相位传递函数，否则，为非最小相位传递函数，具有最小相位传递函数的系统，称为最小相位系统。对于最小相位系统，根据系统的对数幅频特性就可以唯一地确定相应的相频特性和传递函数。因此，从系统建模与分析设计的角度看，只要绘出系统的幅频特性，就可以确定出系统的数学模型（传递函数）。典型环节的确定(Ti=)系统对数幅频曲线斜率变化了[-20]，则存在惯性环节ωi为转折处的频率(τi=)ωi为转折处的频率系统对数幅频曲线斜率变化了[20]，则存在微分环节系统对数幅频曲线斜率变化了[-40]，则存在振荡环节ωn为转折处的频率 5.3系统的开环频率特性由对数频率特性确定最小相位系统的传递函数对数幅频曲线的低频部分开环放大倍数K的确定0型系统，不含积分环节1型系统，含一个积分环节2型系统，含二个积分环节0型系统(0分贝线高度＝20lgK)1型系统(K＝ωK)2型系统(K＝ωK2) 5.4频域法分析闭环系统的稳定性5.4.1奈奎斯特（Nyguist）稳定判据奈奎斯特稳定判据：系统闭环稳定的充分必要条件是，当频率ω从0→∞，系统的开环幅相频率特性曲线逆时针绕(-1，j0)点的角度为pπ。其中p为系统开环传递函数G(s)位于s右半平面的极点数。也可以叙述为：闭环系统稳定的充要条件是当ω由0→∞时，开环幅相频率特性在点(-1，j0)左侧负实轴上正、负穿越的次数之差为p/2，p为开环传递函数正实部极点个数。值得说明的是，当开环幅相频率特性起始于负实轴上或终止于负定轴上时，穿越次数定义为1/2次。若开环幅相频率特性在点（－1，j0）左侧负实轴上负穿越的次数大于正穿越的次数，则闭环系统一定不稳定。 5.4频域法分析闭环系统的稳定性这些开环幅相特性曲线的闭环系统稳定吗？ 5.4.2奈奎斯特对数稳定判据当ω由0→∞变化时，在开环对数幅频率特性曲线L(ω)≥0dB的频段内，相频特性曲线φ(ω)对-180°线的正穿越与负穿越次数之差为p/2（p为s平面右半部分开环极点数目），则闭环系统稳定；否则系统不稳定。5.4频域法分析闭环系统的稳定性奈奎斯特对数稳定判据 5.4频域法分析闭环系统的稳定性5.4.3稳定裕度对于稳定系统，γ为正相位裕度，即极坐标图中γ角在负实轴以下，在对数频率图中γ角在-180°线以上。相位裕度幅值裕度在对数频率特性中用下式表示只有相位裕度和幅值裕度同时满足要求时，系统才能稳定工作。从工程实践角度考虑，为了使系统具有满意的稳定裕度，通常要求γ=30°~60°,h≥6dB。 5.5用开环频率特性分析系统的性能开环频率特性频段的划分低频段开环频率特性第一个转折点前的部分中频段开环频率特性截止频率ωc前后的区间高频段开环频率特性ω>10ωc后的区间点点看 5.5用开环频率特性分析系统的性能5.5.1开环频率特性低频段与系统稳态误差的关系开环放大倍数K的确定0型系统(0分贝线高度＝20lgK)n型系统(K＝ωKn)[-20n]K和ess的关系 5.5用开环频率特性分析系统的性能5.5.2开环频率特性中频段与系统暂态性能指标的关系和σ%的关系越小，σ%越大；越大，σ%越小。为使二阶系统不致于振荡得太厉害以及调节时间过长，一般希望30°≤≤70°ωcts的关系如果两个二阶系统的相同，则它们的最大超调量也相同，ωc较大的系统，调节时间ts较短。 5.5用开环频率特性分析系统的性能5.5.3开环频率特性高频段对系统性能的影响高频段系统闭环幅频近似等于开环幅频。因此，开环对数幅频特性高频段的幅值，直接反映了系统对输入端高频信号的抑制能力，高频段分贝越低，系统抗干扰能力越强。（1）如果要求具有一阶或二阶无静差特性，则开环对数幅频特性的低频段应有[-20]或[-40]的斜率。为保证系统的稳态精度，低频段应有较高的增益。（2）开环对数幅频特性以[-20]斜率穿过0dB线，且具有一定的中频宽度。这样系统就有一定的稳定裕度，以保证闭环系统具有一定的平稳性。（3）具有尽可能大的0dB频率ωc，以提高闭环系统的快速性。（4）为了提高系统抗高频干挠的能力，开环对数幅频率特性高频段应有较大的斜率。在控制系统中，系统开环对数幅频特性应具有以下几个特点： 第5章小结频率分析法是一种分析系统的图解方法，也是一种数学模型。将传递函数中的s用jω代替便可得到系统的频率特性。它描述了线性定常系统在正弦信号作用下，输出稳态值与输入稳态值之比相对频率的关系。常用的频率特性曲线包括开环幅相频率特性曲线(Nyquist图)和对数频率特性曲线(Bode图)。其中Bode图更易准确绘制并修正。采用奈氏稳定判据或对数频率稳定判据可对系统的稳定性的进行判定；衡量控制系统相对稳定性的指标包括γ和h。对于最小相位系统，其开环对数幅频特性可以惟一地确定相频特性和传递函数。而对非最小相位系统则不然。低频段反映了系统的稳态性能；中频段对系统的动态性能影响很大，它反映了系统动态响应的平稳性和快速性；高频段反映了系统的抗干扰能力。 控制系统的校正第6章6.1系统校正概述6.2串联超前校正6.3串联滞后校正6.4串联滞后－超前校正6.5串联校正的期望特性法6.6PID校正装置及PID串联校正6.7反馈校正本章小结 6.1系统校正概述在系统原结构上增加新的装置是改善系统性能的主要措施，这一措施称为系统校正。为改善系统性能增加的装置叫做校正装置或校正环节。校正装置接入系统的方法称为校正方式，基本的校正方式有以下三种串联校正校正装置Gc(s)串接在系统误差测量之后的前向通道中校正装置Gc(s)接在系统的局部反馈通道中反馈校正在反馈控制回路中，加入前馈校正通路复合校正前馈干扰补偿 6.1系统校正概述频率法校正系统设计又称试探法，是首先根据经验确定校正方案，然后根据要求，选择某一种类型的校正装置，通过系统分析和计算求出校装置的参数，最后进行验算、调整参数，直至校正后全部满足性能指标为止。又称期望特性法，是根据性能指标的要求，构造出期望的系统特性，然后再根据原系统固有特性和期望特性去选择校正装置的特性及参数，使得系统校正后的特性与期望特性完全一致。分析法综合法 6.2.1串联超前校正装置的特点6.2串联超前校正最大超前相角ωm是ω1和ω2的几何中心点，在对数频率特性上ωm位于ω1和ω2的中间位置。ωm对应的幅值传递函数(α＞1)相角最大超前角对应的频率ωm只取决于参数α。当α=5~20时，ωm=42°~65°；当α＞20时，ωm增加不多，但校正网络的工程实现较困难，所以一般取α＜20。 6.2.2串联超前校正方法6.2串联超前校正用分析法设计串联超前校正装置的步骤如下：1236547根据系统误差要求确定其开环放大倍数K。绘制待校正系统的对数频率特性L(ω)和φ(ω)曲线，并确定其穿越频率ωc和相位稳定裕度γ。根据性能指标要求的相位裕度γ′和实际系统的相位裕度γ，确定最大超前相角φm(ω)=γ′-γ+△。(△取5°～12°)根据φm按照计算出α值。在L(ω)上找到幅频值为-10lgα的点处的频率作为超前校正装置的ωm。根据选定的ωm确定校正装置的转折频率、，并画出校正装置的对数频率特性Lc(ω)。画出校正后系统对数频率特性曲线L′(ω)，并校验系统的相位裕度γ′。如果不满足要求，则增大△，从步骤3开始重新计算。 6.2串联超前校正例题要求系统的kv≥1000，相位稳定裕度γ′＞45°，试设计超前校正装置的参数。设一单位反馈系统开环传递函数为1236547根据要求，取k=kv=1000，系统的开环传递函数为-8.75-8.75dB处的频率是 6.3.1串联滞后校正装置的特点6.3串联滞后校正最大超前相角ωm是ω1和ω2的几何中心点，在对数频率特性上ωm位于ω1和ω2的中间位置。传递函数(β<1)相角滞后网络对低频有用信号不产生衰减，而对高频噪声有一定的衰减作用，最大的幅值衰减为20lgβ，β值越大，抑制高频噪声的能力越强。 6.3.2串联滞后校正方法6.3串联滞后校正用分析法设计串联滞后校正装置的步骤如下：123546根据系统误差要求确定其开环放大倍数K。绘制待校正系统的对数频率特性L(ω)和φ(ω)曲线，并确定其穿越频率ωc和相位稳定裕度γ。根据性能指标要求的相位裕度γ′和实际系统的相位裕度γ，根据算式φ(ωc′)=－180＋γ′+△计算校正后系统的穿越频率ωc′。(△取5°～15°)根据20lgβ+L(ωc′)=0，确定参数β值。一般选取ω2=(0.1~0.05)ωc′则ω1=βω2，并画出校正装置的对数频率特性Lc(ω)。画出校正后系统对数频率特性曲线L′(ω)，并校验系统的相位裕度γ′。如果不满足要求，需适当放大参数裕量，重新选择参数，重复以上步骤。 6.3串联滞后校正例题要求系统的kv＝30，相位稳定裕度γ′≥40°，试设计滞后校正装置的参数。设一单位反馈系统开环传递函数为1542根据要求，取k=kv=30，系统的开环传递函数为36 6.4串联滞后－超前校正6.4.1串联滞后－超前校正装置的特点传递函数它们分别与滞后和超前装置的传递函数形式相同，故具有滞后——超前的作用 6.4.2串联滞后－超前校正方法6.4串联滞后－超前校正用分析法设计串联滞后——超前校正装置的步骤如下：123546根据系统误差要求确定其开环放大倍数K。绘制待校正系统的对数频率特性L(ω)和φ(ω)曲线，并确定其穿越频率ωc和相位稳定裕度γ。一般选取待校正系统γ=0时所的ω值作为校正后系统的穿越频率ωc′。一般滞后部分的第二个转折频率为ω2=(1/5-1/10)ωc′=1/T2，选取β=0.1，即可确定出ω1=βω2=1/T1。过[ωc′,-L(ωc′)]点作[+20]的斜线，分别交滞后校正装置的频率特性和横轴(ω轴)于两点，则这两个交点所对应的频率值即为相位超前校正装置的两个转折频率ω3、ω4。写出滞后一超前校正装置的传递函数，校验已校正系统的各项性能指标。 例题设一单位反馈系统开环传递函数为要求系统1根据要求，取k=kv=10，系统的开环传递函数为的kv＝10，相位稳定裕度γ′≥40°，h′≥10dB。试设计校正装置的参数。54236绘制对数频率特性L(ω)和φ(ω)曲线，ωc=2.7rad/s，γ<0ω2=0.1ωc′=0.15rad/s，选取β=0.1，ω1=βω2=0.015rad/s作[+20]的斜线得到：,过[1.5,-13]点6.4串联滞后－超前校正 6.5串联校正的期望特性法期望频率特性法的设计步骤如下：1234根据待校正系统的传递函数，绘出其对数幅频特性曲线L(ω)，并求其对应的性能指标。根据系统的设计指标要求，绘制期望特性曲线L(ω)①根据稳态精度确定低频段的斜率及高度(若原系统满足要求可不再变动)。②由需要的相位裕度及暂态指标，确定ωc′与γ′，并根据下式计算及ωa、ωb：③按中频段为[-40]—[-20]—[-40]的形状确定出其它交接频率。根据期望特性曲线L(ω)，求出对应的γ′等指标，校验其是否满足设计需要。()由Lc(ω)=L′(ω)-L(ω)确定出校正装置的传递函数。 例题1(1)系统具有一阶无差度，速度误差系数KV=200s-1(2)超调量5%≤30%(3)调节时间ts≤0.5s6.5串联校正的期望特性法设一单位反馈系统开环传递函数为根据以下性能指标校正系统。4236绘制期望特性曲线L′(ω)①低频段:维持原来的斜率和高度不变K=200=KV。②中频段:可取ωc′=20rad/s,γ′=50°绘制对数频率特性L(ω)，得到校验是否满足指标要求5时域指标通过公式换算为开环频域指标： 6.6PID校正装置及PID串联校正增益系数上升时间超调量过渡过程时间稳态误差KP减小增大微小变化减小KI减小增大增大消除KD微小变化减小减小微小变化PID校正装置又称PID调节器，它是用比例(Proportional)、积分(Integral)和微分(Derivative)控制规律组成的串联校正装置。其参数根据系统的最佳性能要求而规范和简化的希望特性来确定。其校正设计简单易于工程实现。控制规律参数对系统时域指标的影响(KP、KI、KD为常数，KP是比例增益系数)（实际应用中PID调节器另外一种表示形式）实际应用中PID调节器还可以方便地设置成P调节器和PI调节器等用于不同的场合和目的P调节器PI调节器或P调节器只改变信号的增益而不影响其相位。在串联校正中，加大调节器增益KP，可以提高系统的开环增益，减少稳态误差，提高系统的控制精度，但会降低系统的相对稳定性，甚至可能造成系统不稳定。PI调节器相当于在系统中增加了一个原点开环极点、一个负实开环零点。原点开环极点可以提高系统的型别，以消除或减少系统的稳态误差，改善系统的稳定性能；而增加的负实零点可减小系统的阻尼程度，缓和PI调节器极点对系统稳定性及动态过程产生的不利影响。 6.6PID校正装置及PID串联校正PID的串联校正，又称串联工程设计法。其校正步骤是先根据待校正系统的传递函数确定串联校正装置GC(s)的形式，如P、PI或PID等调节器，然后按最佳性能要求，选择相应调节器的参数。常用的PID工程设计法有两种，即“三阶最佳设计法”和“最小Mr设计法”三阶最佳设计法最小Mr设计法校正后系统期望开环传递函数的形式为选择期望特性的参数，通常取与三阶最佳设计仅在参数选择上有不同：是使对应的闭环系统具有最小的Mr值。通常取：由G′(s)和G(s)，确定相应PID调节器GC(s)的参数。 6.7反馈校正6.7.1反馈校正的功能这意味着降低了大回路系统的稳态精度，但改善了系统的稳定性。其结果还是惯性环节，但时间常数变小了，即惯性变小，同时增益也变小，但这可以通过提高用比例反馈（又称位置反馈）包围积分环节，可将其变的一惯性环节改变系统的局部结构减小被包围环节时间常数被反馈包围的惯性环节时间常数T较大，影响整个系统的响应速度，采用比例反馈后放大环节的增益来补偿。替代系统中不利环节作用的某些环节，形成一个局部反馈回路，在局部反馈回络的开环幅值远大于1的条件下，局部反馈回络的特性主要取决于反馈校正装置，而与被包围部分无关，适当选择反馈校正装置的形式和参数，可以使已校正系统的性能满足给定指标的要求。利用反馈校正装置包围待校正系统中对动态性能改善有重大妨碍 6.7反馈校正6.7.2反馈校正的方法反馈校正系统开环频率特性为系统传递函数为(1)若，即，则开环频率特性为(2)若，即，则开环频率特性为有了上述的近似处理，就可以适当选择校正装置的结构和参数，使系统开环频率性发生所期望的变化，以满足性能指标要求。 第6章小结控制系统的校正也就是根据系统的固有部分和对性能指标的要求，确定校正装置的结构和参数。校正分为串联校正和反馈校正，串联校正分为超前校正、滞后校正的滞后-超前校正。串联超前校正是利用校正装置的超前相位，增加系统的相位裕度，改善系统的稳定性；串联滞后校正是利用校正装置的中、高频幅值衰减特性，以减小ωc为代价，提高了系统的相位裕度，改善系统的稳态精度；串联滞后—超前校正则综合了串联超前校正和串联滞后校正两者的优点。PID调节器串联校正的方法是按工程最佳参数设定的规范设计校正方法，其使用方便，适应性强，可以广泛用于各种工业过程控制。期望特性校正法是根据系统预先规定的性能指标，作出系统的期望开环对数频率特性，用此特性与待校正系统的原特性进行比较，从而确定出校正装置的对数频率特性，进而得出校正装置传递函数。反馈校正能达到串联校正同样的目的，但反馈校正有能改变被包围环节的参数、性能的功能，甚至可以改变原环节的性质。 非线性系统的分析第7章7.1非线性微分方程的线性化7.2典型非线性特性及其对系7.3统性能的影响7.4描述函数法7.5用描述函数法分析非线性控制系统本章小结 7.1非线性微分方程的线性化对于非线性系统可以建立对应的非线性微分方程。然而由于非线性特性类型不同，非线性微分方程的解析异常困难，对其是没有通用的解析方法的。在理论研究时总是尽可能地将非线性问题在合理的情况下进行线性化处理。“小偏差法”是常用的线性化方法之一。“小偏差法”是以泰勒级数为数学基础的，然后得到变量对平衡点的线性增量方程。“小偏差法”的适用条件：系统正常工作时有一个平衡工作点(X0,Y0)，且在(X0,Y0)附近小范围变化；非线性函数在平衡点(X0,Y0)处各阶导数存在（从图上反映为，必须是一个光滑的曲线）。对于某些严重的非线性，则不能进行求导运算，因而不能使用“小偏差法”，只能作为非线性问题来处理。如继电器特性、间歇特性等。小偏差法 假设线圈处于平衡工作点，端电压为U0，电流为i0，则(1)铁芯线圈的电流与磁链的关系为非线性，线圈的微分方程为(2)在平衡点i0附近区域内的磁链ψ可用泰勒级数展开，即(3)忽略掉高阶无穷小项及余项，得到近似式用增量的形式表示(4)将原方程中的输入电压、磁链、电流均用平衡点附近的增量形式表示，则有(5)在实际使用中，常常略去增量符号写成以下最终形式：铁芯线圈的线性化微分方程注意Ur、I都是在平衡点的微小增量，L是平衡点处线圈的电感值。小偏差法线性化的例子7.1非线性微分方程的线性化 7.2典型非线性特性及其对系统的影响7.2.1典型非线性特性也称死区，当输入信号在零位附近的某一小范围之内时，没有相应的输出信号；只有当输入信号大于此范围时，才有输出信号。含有死区特性元件的系统，可以提高系统的平稳性，但增加了系统的稳态误差，导致系统跟踪精度的降低。不灵敏区特性不灵敏区的特性曲线不灵敏特性的等效增益曲线 7.2典型非线性特性及其对系统的影响当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输入信号而变化，将保持某一常数值。含有饱和特性元件的系统在大信号作用下将使系统开环增益有所减小，一定程度上提高了系统的平稳性，然而却降低了系统的稳态精度。饱和特性饱和特性曲线饱和特性的等效增益曲线 7.2典型非线性特性及其对系统的影响也称回环，机械传动中为保证齿轮转动灵活不卡齿，主动轮、从动轮齿轮之间必须有适当的间隙存在，使得两者不能同步运转，即从动轮滞后主动轮。含有间隙特性的系统，其输出相位滞后于输入相位，从而减小了系统的相稳定裕度，使系统的稳定性变坏，同时增大了系统的稳差。间隙特性齿轮间隙间隙特性的等效增益曲线 7.2典型非线性特性及其对系统的影响继电器线圈上的电压大于某个数值时，触点吸合；线圈上的电压小于某个数值时，触点释放；其吸合、释放的电压可能不同，因而继电特性中包含了死区、回环和饱和特性。利用继电特性可以使被控制的执行电动机工作在额定或最大电压下，从而充分发挥其调节系统设计能力，实现快速跟踪。带死区、饱和的继电特性会降低系统的稳态精度，但可以提高系统的平稳性。继电器特性继电器特性曲线（a）理想继电特性（b）具有死区、饱和的继电特性（c）具有回环的继电特性（d）具有死区、回环的继电特性 7.2典型非线性特性及其对系统的影响7.2.2非线性系统特性非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅与系统本身的结构和元件特性有关，而且与系统初始条件也有关。因而对非线性系统，不能笼统地讲系统是否稳定。非线性系统中，除了发散和收敛两种运动形式外，还会发生自激振荡，即无外界作用时系统自身产生的具有一定振幅和频率的振荡。有时同一系统还可能产生不止一种振幅和频率的自激振荡。非线性系统的输入信号为正弦函数，其稳态输出信号通常是包含高次谐波的非正弦周期函数，且周期与输入信号相同。对于非线性系统是没有一种通用的方法来处理的，且不能用线性微分方程来描述，在研究时也不一定要对暂态过程进行求解，而常将讨论的重点放在系统是否稳定？会不会产生自激振荡及如会产生，其振幅和频率为多少?如何消除自激振荡等。1234 7.3.1非线性元件的描述函数7.3描述函数法因为本部分讨论的典型非线性特性都是奇对称的，所以，则输出的基波分量为将y（t）用傅氏级数表示，那么将设式中式中称为非线性元件的描述函数，它表示当非线性元件的输入信号为正弦函数时，输出信号的基波分量与输入信号在幅值和相位上的相互关系，类似于线性系统中的频率特性。N（A）表示非线性元件，G（s）表示线性元件。 7.3描述函数法7.3.2非线性特性的描述函数非线性特性描述函数 7.3描述函数法非线性特性描述函数 7.4用描述函数法分析非线性控制系统7.4.1非线性系统的稳定性分析 7.4用描述函数法分析非线性控制系统7.4.2非线性系统结构的简化若两个非线性环节串联，可将两个环节的特性归化为一个特性，即以第一个非线性环节的输入和第二个非线性环节的输出分别作为归化后非线性特性的输入和输出，从而作出等效非线性特性。注意，若两个非线性特性的描述函数分别为和，等效非线性的描述函数为绝不等于和的乘积，并且串联非线性环节的次序不可交换。对于多个非线性环节串联，其处理方法可以按照串联的次序，先归化前两个非线性环节，等效后的非线性特性再与第三个环节进行归化变换。非线性环节串联若两个并联的非线性环节其描述函数分别为和，则并联后的等效非线性环节的描述函数。非线性环节并联系统的线性部分与前面所讲的现性系统的等效变换一样，简化的原则是信号的等效变换，但对于非线性的处理要遵循1、2的处理原则。结构图的等效变换 7.4用描述函数法分析非线性控制系统7.4.3利用非线性特性改善控制系统的性能某系统的控制特性如a)中曲线①所示，是二阶振荡曲线。通过线性校正(添加局部反馈环)得到了曲线②，可见超调量没有了，系统也不振荡了，但快速性是上述几条中最差的。在系统中加入非线性环节，使得系统的响应曲线变为③，在响应起始阶段具有很好的快速性，在快要达到控制目标时通过死区特性的作用使稳定性得以保证。这样我们可以用一些极为简便的非线性装置，便能使系统的性能得到较大地改善，成功地解决系统快速性能和振荡性能之间的矛盾。 7.4用描述函数法分析非线性控制系统7.4.4综合举例图示控制系统方框图中含有一个继电特性的非线性元件，其参数是试完成以下要求：（1）分析系统的稳定性；（2）若不使系统产生自激振荡，该继电特性应如何调整。解：1．将继电特性的参数代入相应公式得到：根据，求得的极值为 7.4用描述函数法分析非线性控制系统2．调整继电特性使系统不产生自激振荡的极值点（该点处有）应小于与实轴的交点，即(其中，有→。)所以如果取2，则，，显然与曲线不相交，系统不会产生自激振荡。可以画出、的曲线如右图。可见曲线与曲线相交，说明系统存在自激振荡，其振幅可由下式求得： 第7章小结任何物理系统在某种程度上都存在一定的非线性。对于非线性系统或元件的微分方程则采用“小偏差法”，该方法用于系统平衡工作点附近的因非线性引起的较小偏差较准确，对于较严重的非线性情况，该方法不适用。当系统的非线性程度较严重时，必须对非线性系统进行专门的研究和处理。在实际控制系统中最常见典型非线性特性有：死区特性、饱和特性、间隙特性、继电器特性等。控制系统中的固有非线性因素一般会对系统的工作产生不良的影响。但有时人为地加入某些非线性特性能使系统的控制性能得到改善。研究非线性控制系统的方法有很多种，本章只介绍了描述函数法。描述函数法就是对典型非线性环节或元件用描述函数建立数字模型——描述函数，然后借助线性理论中的频域法对系统进行类似的分析。描述函数法只适用于静态的典型非线性环节，且系统的线性部分必须有低通滤波特性。