高中数学巧构造,妙解题

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1、巧构造妙解题1.直接构造例1.求函数的值域。分析:由于可以看作定点(2,3)与动点(-cosx,sinx)连线的斜率,故f(x)的值域即为斜率的最大、最小值。解:令,则表示单位圆表示连接定点P(2,3)与单位圆上任一点(,)所得直线的斜率。显然该直线与圆相切时,k取得最值,此时,圆心(0,0)到这条直线的距离为1,即所以故例2.已知三条不同的直线,,共点,求的值。分析:由条件知为某一元方程的根,于是想法构造出这个一元方程,然后用韦达定理求值。解:设(m,n)是三条直线的交点,则可构造方程,即(*)由条件知,均为关于的一元三次方程(*)的根。由韦达定理知2

2、.由条件入手构造例3.已知实数x,y,z满足,求证:分析:由已知得,以x,y为根构造一元二次方程,再由判别式非负证得结论。解:构造一元二次方程其中x,y为方程的两实根所以即故△=0,即3.由结论入手构造例4.求证:若,,则分析:待证式的左边求和的分母是三次式,为降低分母次数,构造一个恒不等式。所以左边故原式得证。例5.已知实数x,y满足,求证:分析:要证原式成立,即证即证由三角函数线知可构造下图,此时不等式右边为图中三个矩形的面积之和,而单位圆的面积为,所以故结论成立。巧用函数单调性妙解数学题函数是高中数学的重要内容,函数的单调性又是函数的重要性质。在求

3、解某些数学问题时,若能根据题目的结构特征,构造出一个适当的单调函数,往往能化难为易,化繁为简,获得巧解和妙解。下面举例说明。一.巧求代数式的值例1.已知,求的值。解:已知条件可化为设,则而在R上是增函数则有,即所以点评:本题关键是将条件转化为,再构造相应函数,利用单调性求解。拓展练习:已知方程的根为α,方程的根为β,求α+β的值。(答案:)二.妙解方程例2.解方程解:易见x=2是方程的一个解原方程可化为而(因为)在R上是减函数,同样在R上是减函数因此在R上是减函数由此知:当时,当时,这说明与的数都不是方程的解,从而原方程仅有唯一解。拓展训练:解方程。(答

4、:)点评:解该类型题有两大步骤:首先通过观察找出其特解,然后等价转化为的形式,最后根据的单调性得出原方程的解的结论。三.妙求函数的值域例3.求函数的值域。解:令,则因为,所以而在内递增所以又而所以为所求原函数的值域。四.巧解不等式例4.解不等式解:设原不等式可化为则,即设显然是R上的减函数,且,那么不等式即因此有,解得点评:解不等式其实质是研究相应函数的零点,正负值问题。用函数观点来处理此类问题,不仅可优化解题过程,且能让我们迅速获得解题途径。拓展训练:解不等式。(答:)五.巧证不等式例5.设,求证。证明:当m,n中至少有一个为0时,则有,结论成立。设因

5、为在上单调递增所以与必同号,或同为0(当且仅当时)从而因此,原不等式成立(当且仅当或,或时取“=”号)。点评:原不等式等价于,这可由幂函数在上递增而得到。本题可拓展:令,则。六.巧解恒成立问题例6.已知函数对区间上的一切x值恒有意义,求a的取值范围。解:依题意,对上任意x的值恒成立整理为对上任意x的值恒成立。设,只需而在上是增函数则所以七.巧建不等关系例7.给定抛物线,F是C的焦点,过点F的直线与C相交于A,B两点,设。若,求l在y轴上的截距的变化范围。解:设由,得联立(1)(2)(3)(4),解得所以或所以的方程为或当时,在y轴的截距为令,则所以在[4

6、,9]上是减函数故所以直线在y轴上截距的取值范围是:八.巧解数列问题例8.已知数列是等差数列,。(1)求数列的通项公式;(2)设数列的通项,Sn是数列的前n项和,试比较与的大小,并证明你的结论。解:(1)由,有得因此(2)设(n为正整数)所以即在上是递增的从而即所以当时,当时,巧用函数思想解数列题从函数观点看,数列是定义域为正整数集或它的有限子集{1,2,3,…,n}上的函数,当自变量从小到大取值时相应的一列函数值,因此,用函数思想解数列题,思路自然,方法简捷。1.利用周期性解题例1.在数列{an}中,已知,则等于()A.-1B.-5C.1D.5解:因为

7、所以两式相加,得从而有即{an}是周期为6的数列,所以选A2.利用单调性解题例2.设,且n>1,求证证明:令则于是所以即an是n的单调递增函数,其中n=2,3,4,…又所以当n=2,3,4,…时,都有故3.利用图象解题例3.已知数列{an}的通项公式,则数列{an}的前30项中最大项与最小项分别为()A.a1,a10B.a1,a9C.a10,a30D.a10,a9解:因为,由图象,知选D。4.分离参数解题例4.已知a>0且a≠1,数列{an}是首项为a,公比为a的等比数列,设,若对任意恒成立,求实数a的取值范围。解:依题意,得,所以于是(1)当a>1时,

8、所以,故当时,所以故综上,得巧用判别式在解题中,大家往往会遇到有关一元二次方程(

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