第三章 可变端点的横截条件

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1、第二章可变端点横截条件预备知识：对定积分的求导对于函数（1）莱布尼兹法则——对定积分的求导（2.6)（2）积分上限函数的求导（2.8)由积分中值定理得证：（3）对积分下限函数求导证：根据对积分上限函数求导的公式，得：（2.9)(4)如果定积分具有如下形式：根据（2.6）式和（2.8）式，得：（2.11)可变终结点问题：假设是已知的最优终结时间，在邻近的任何值可以表示为由于已知并且是一个预选的量，所以，T可被视为的一个函数，其导数为第一节一般性横截条件T是的一个函数，所以函数V中积分上限随着的变化而变化。最大化或最小化推导一般的横截条件：步骤1（3.6）（3.6）式

2、第二项:根据上一章的推导过程,得（3.6）式第一项:把这些代入(3.6)，并令，得：第40页（3.7）步骤2通过把转化为含和（3.8）步骤3把（3.8）式代入（3.7），得：（3.7）欧拉方程一般横截条件（3.8）第2步骤推导得到：第1步骤推导得到：特殊横截条件垂直终结线（固定时间水平问题）以上推导得到一般横截条件：垂直终结线涉及一个固定的T，从而又因为是任意的，就产生的横截条件：垂直终结线的横截条件第二节特殊横截条件特殊横截条件水平终结线（固定端点问题）一般横截条件又因为是任意的，就产生的横截条件：水平终结线的横截条件水平终结线涉及一个固定的，从而特殊横截条件终

3、结曲线一般横截条件把该式代入一般横截条件，得：终结曲线的横截条件终结曲线，和都未被赋予零值。又因为是任意的，就产生的横截条件：特殊横截条件截断垂直终结线一般横截条件对点Z1，即，那么终结限制自动被满足，可直接使用截断终结线条件：对点Z2和Z3，即。最大化问题的截断垂直终结线横截条件(对于最大化V的问题)特殊横截条件截断垂直终结线一般横截条件对点Z1，即，那么终结限制自动被满足，可直接使用截断终结线条件：对点Z2和Z3，即。最大化问题的截断垂直终结线横截条件(对于最小化V的问题)即在约束的情况下求的最大化。根据求最大值的库恩塔克条件，得：库恩塔克条件：特殊横截条件截

4、断水平终结线一般横截条件Tmax对点M1，即，那么终结限制自动被满足，可直接使用截断终结线条件：对点M2和M3，即，那么终结限制才被满足。最大化问题截断水平终结线的横截条件(对于V的最大化)特殊横截条件截断水平终结线一般横截条件Tmax对点M1，即，那么终结限制自动被满足，可直接使用截断终结线条件：对点M2和M3，即，那么终结限制才被满足。最大化问题截断水平终结线的横截条件(对于V的最大化)在约束的情况下求的最大化。根据求最大值的库恩塔克条件，得：Tmax即点M2和M3：具有边界条件：例2求下列泛函的极值曲线。根据欧拉方程，可得：根据直接积分，得10yt01根据水

5、平终结线的横截条件：代入水平终结线横截条件。和（在t=T处）通解为第三节横截条件的推广（一）一个可变初始点如果初始点是可变的，那么边界条件不再成立。需要一个初始横截条件来填补这个空白。（二）多个状态变量情形当目标函数出现多个状态变量时，被积函数表示为：一般横截条件为：当目标函数只有一个状态变量时，被积函数为：一般横截条件为：（二）高阶导数的情况泛函具有被积函数，经济学中很少出现高阶导数的情况。以被积函数为例，一般横截条件为：