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时间:2018-07-30
《2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题一、选择题(每小题5分,共30分)1、双曲线的左、右准线l1、l2将线段F1F2三等分(其中、分别为双曲线的左、右焦点),则该双曲线的离心率等于().A、B、C、D、2、已知三次函数,),命题:是上的单调函数;命题:的图像与轴恰有一个交点.则是的().A、充分但不必要条件B、必要但不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏.每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势,且是相互独立的.设在一局中甲赢的人数为,则随机变量的数学期望的值为().A、B、C、D、14、函数的最大值为().A、B、
2、3C、D、5、如图,边长为2的正方形ABCD和正方形ABEF所在的面成60°角,M、N分别是线段AC和BF上的点,且,则线段MN的长的取值范围是().A、B、C、D、6、设数列为等差数列,数列满足:,,,…,若,则数列的公差为().8A、B、1C、2D、4二、填空题(每小题5分,共30分)7、已知实数满足,则的取值范围是.8、设平面内的两个非零向量与相互垂直,且,则使得向量与互相垂直的所有实数之和为.9、记实数等比数列的前项和为,若,则.10、设为实数,定义为不小于的最小整数,例如,.关于实数的方程的全部实根之和等于.11、已知,其中为整数,则.12、已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为
3、斜边的等腰直角三角形,且SA=SB=SC=AB=2,设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上,则点O到平面ABC的距离为.三、解答题(每小题20分,共80分)13、已知,若函数的最大值为,求的最小值.14、已知函数在有最大值5,求实数的值.15、抛物线与过点的直线交于、两点.(I)求直线的斜率的取值范围;(II)求在线段上满足条件的点的轨迹方程.16、已知为实数,数列的前项和为,满足:,且对任何的正整数恒成立.求证:当取到最大值时,对任何正整数都有.8解答1、B.提示:由题意得,解得.2、A.3、C.提示:,,,于是.4、C.解法一的定义域为,由,解得.因为,,,于是.解法二的定义
4、域为,,当且仅当,即时,取到最大值.5、B.提示:过点M作MH//BC交AB于H,则,又AM=FN,AC=FB,∴,∴NH//AF,∴NH⊥AB,MH⊥AB,∴∠MHN=60°.设AH=x(0≤x≤2),则MH=x,,所以.因此.6、D.提示:8于是,解得.7、.提示:因为,等号成立当且仅当,即8、1.提示:由于=,即=0,所以由根与系数的关系知符合条件所有实数之和为1.9、150.提示:记,,,.设为的公比,则构成以为公比的等比数列,于是即,解得或(舍去),故.10、-4.提示:设,则,,于是原方程等价于,即,从而,即.相应的为.于是所有实根之和为.11、.提示:由条件知,于是,故8.
5、12、.提示:如图,因为SA=SB=SC,所以S在平面ABC上的射影是△ABC的外心,即AB的中点H,同理O点在平面ABC上的射影也是△ABC的外心H,即在等边△SAB中,求OH的长,其中OA=OB=OS.显然,.13、令,则,所以.∴当时,有最大值,即.所以,等号当且仅当时成立,∴当时,有最小值10.14、令,则,从而令,由题意知在有最大值5.当时,在时有最大值5,故符合条件;当时,,矛盾!8当时,,矛盾!综上所述,所求的实数.15、(I)直线的方程为,与抛物线方程联立得,消去得,即,由,解得或.(II)设点坐标为,点坐标为,点坐标为,则,.又、、都在直线上,所以有,,,由得,化简得又
6、因此,点在线段上,所以同号.则.因此,①,②8由①得代入②得,即.又因为或,所以的取值范围是且,因此点的轨迹方程是(且).16、当时,由得.当时,,,所以,即,所以,,即.由条件知,对任何正整数恒成立,即对任何正整数恒成立,由于在时取最大值.于是,解得.由上式知道的最大值为.当时,8,于是所以8
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