2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案.doc

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1、2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题一、选择题（每小题5分，共30分）1、双曲线的左、右准线l1、l2将线段F1F2三等分（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率等于（）．A、B、C、D、2、已知三次函数，),命题：是上的单调函数；命题：的图像与轴恰有一个交点．则是的（）.A、充分但不必要条件B、必要但不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏．每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且是相互独立的．设在一局中甲赢的人数为，则随机变量的数学期望的值为（）.A、B、C、D、1

2、4、函数的最大值为（）.A、B、3C、D、5、如图，边长为2的正方形ABCD和正方形ABEF所在的面成60°角，M、N分别是线段AC和BF上的点，且，则线段MN的长的取值范围是（）.A、B、C、D、6、设数列为等差数列，数列满足：，，，…，若，则数列的公差为（）.A、B、1C、2D、4二、填空题（每小题5分，共30分）7、已知实数满足，则的取值范围是．8、设平面内的两个非零向量与相互垂直，且，则使得向量与互相垂直的所有实数之和为．9、记实数等比数列的前项和为，若，则．10、设为实数，定义为不小于的最小整数，例如，．关于实数的方程的全部实根之和等于．11、已

3、知，其中为整数，则．12、已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且SA=SB=SC=AB=2,设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为．三、解答题（每小题20分，共80分）13、已知，若函数的最大值为，求的最小值．14、已知函数在有最大值5，求实数的值．15、抛物线与过点的直线交于、两点．（I）求直线的斜率的取值范围；(II)求在线段上满足条件的点的轨迹方程．16、已知为实数，数列的前项和为，满足：，且对任何的正整数恒成立．求证：当取到最大值时，对任何正整数都有．2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题

4、一、选择题（每小题5分，共30分）1、双曲线的左、右准线l1、l2将线段F1F2三等分（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率等于（）．A、B、C、D、2、已知三次函数，),命题：是上的单调函数；命题：的图像与轴恰有一个交点．则是的（）.A、充分但不必要条件B、必要但不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏．每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且是相互独立的．设在一局中甲赢的人数为，则随机变量的数学期望的值为（）.A、B、C、D、14、函数的最大值为（）.A、B、3C、D

5、、5、如图，边长为2的正方形ABCD和正方形ABEF所在的面成60°角，M、N分别是线段AC和BF上的点，且，则线段MN的长的取值范围是（）.A、B、C、D、6、设数列为等差数列，数列满足：，，，…，若，则数列的公差为（）.A、B、1C、2D、4二、填空题（每小题5分，共30分）7、已知实数满足，则的取值范围是．8、设平面内的两个非零向量与相互垂直，且，则使得向量与互相垂直的所有实数之和为．9、记实数等比数列的前项和为，若，则．10、设为实数，定义为不小于的最小整数，例如，．关于实数的方程的全部实根之和等于．11、已知，其中为整数，则．12、已知三棱锥S-

6、ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且SA=SB=SC=AB=2,设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为．三、解答题（每小题20分，共80分）13、已知，若函数的最大值为，求的最小值．14、已知函数在有最大值5，求实数的值．15、抛物线与过点的直线交于、两点．（I）求直线的斜率的取值范围；(II)求在线段上满足条件的点的轨迹方程．16、已知为实数，数列的前项和为，满足：，且对任何的正整数恒成立．求证：当取到最大值时，对任何正整数都有．解答1、B.提示：由题意得，解得．2、A．3、C.提示：,,,于是.4、C.解法

7、一的定义域为，由，解得．因为，，，于是．解法二的定义域为，，当且仅当，即时，取到最大值．5、B.提示：过点M作MH//BC交AB于H，则，又AM=FN，AC=FB，∴，∴NH//AF，∴NH⊥AB，MH⊥AB，∴∠MHN=60°．设AH=x(0≤x≤2)，则MH=x，，所以.因此．6、D.提示：于是，解得．7、．提示：因为，等号成立当且仅当，即8、1.提示：由于=，即=0，所以由根与系数的关系知符合条件所有实数之和为1．9、150.提示：记，，，.设为的公比，则构成以为公比的等比数列，于是即，解得或（舍去），故．10、-4.提示：设，则，，于是原方程等价于

8、，即，从而，即．相应的为．于是所有实根之和为．11、．提示：由条件