用对称轴求最短距离

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1、用轴对称求最短距离、作图盱眙县第一中学张翼例1、（中国古代数学问题——牧童饮马问题）如图，牧童在A处放牧，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，牧童从A处将马牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？例2、（湖北荆门卷）一次函数y=kx＋b的图象与x、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)．(1)求该函数的解析式；(2)O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点的坐标．例3、(福建龙岩卷）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是

2、直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为．6例4、(湖北孝感卷）在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=时，AC+BC的值最小．例5、（湖北鄂州卷）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上移动，则当PA＋PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（）A．B．C．D．3例6、(四川达州卷）如图，在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值

3、为㎝（结果不取近似值）.26．(2010年淮安)(1)观察发现如题26(a)图，若点A，B在直线同侧，在直线上找一点P，使AP+BP的值最小．做法如下：作点B关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点P再如题26(b)图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E6是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为．题26(a)图题26(b)图(2)实践运用如题26(c)图，已知⊙O的直径CD为4，AD的度数为6

4、0°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．题26(c)图题26(d)图(3)拓展延伸如题26(d)图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．例7、(四川遂宁卷）如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；2．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3

5、，OB＝4，D为边OB的中点．（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；OABxyCDOABxyCDED′（备用图）（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF＝2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F6的坐标．例8、（浙江衢州卷）如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线y=ax2上．(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；(2)平移抛物线y=ax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的

6、两个定点．①　当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；②　当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．(第24题(1))4x22A8-2O-2-4y6BCD-44QP解：(1)将点A(-4，8)的坐标代入，解得．将点B(2，n)的坐标代入，求得点B的坐标为(2，2)，　　　　　　　　　　　　　　　　　则点B关于x轴对称点P的坐标为(2，-2)．　直线AP的解析式是．　令y=0，得．即所求点Q的坐标是(，0)．(第24

7、题(2)①)4x22A′8-2O-2-4y6B′CD-44A′′(2)①　解法1：CQ=︱-2-︱=，　故将抛物线向左平移个单位时，A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为．解法2：设将抛物线向左平移m个单位，则平移后A′，B′的坐标分别为A′(-4-m，8)和B′(2-m，2)，点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-m，-8)．直线A′′B′的解析式为．6要使A′C+CB′最短，点C应在直线A′′B′上，(第24题(2)②)4x22A′8-2O-2-4y6B′CD-44A′′B′′将点C(-2，0)代入直线A′′B′的解析式，解得

8、．故将抛物线向左平移个单位时A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为．②　左右平移抛物线，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D