第2章 2.6微分中值定理与补充练习

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1、微分：函数增量微分导数*自变量增量-----（看作泰勒公式的特例）P.1438x表示上述公式中的自变量的增量1.1微分中值定理11.1.1主要内容11.1.2小结11.1.3求分段函数在分段点的可导性21.1.4利用拉格朗日中值公式证明不等式21.1.5习题21.1.5.1题821.1.5.213题21.1.5.314题31.1.62.6补充题31.1微分中值定理1.1.1主要内容1.微分中值定理1)罗尔定理2)拉格朗日中值定理3)柯西中值定理2.几个中值定理之间的联系与区别3.中值定理的应用1.1.2小结1．证明方程根的存在性a)介值定理、零点定理b)罗尔定

2、理（化方程为另外一个函数的导数）61．证明导函数方程根的存在性：罗尔定理a)结论包含函数的一阶导数（二阶导数也可以考虑用）2．证明根的唯一性a)反证法：结合罗尔定理来证明3．证明不等式：拉格朗日中值定理a)b)在区间上应用，得4．注意：（1）左端“存在”一个点（2）右端“任意”，（且a，b可均为变量，）利用拉格朗日中值定理，可以分析：（1）可以研究某点导数的符号；（2）可以研究某些函数的取值范围：要利用或（也可用于证明不等式）（3）考虑下列结论的综合应用：（1）局部保号性（及推论）、介值定理（及推论）、导数定义（及左右导数）、三个中值定理1.1.1求分段函数在

3、分段点的可导性（1）方法1：根据定义（2）方法2：如果在分段点连续；且在右去心邻域内可导，则右导数=….1.1.2利用拉格朗日中值公式证明不等式（1）在[x0,x]或[x,x0]应用中值公式得到f’(?)与f(x)的关系式（一个方程）；联想到：根据a

4、.113题提示：（1）用倒推法分析（2）结论中涉及存在2个点---可能要用2次中值定理（才能产生2个点——）（结论）猜测：对这2个函数分别用拉格朗日中值定理满足拉格朗日中值定理条件，满足拉格朗日中值定理条件1.1.1.214题f(x)与x^3柯西或（拉格朗日）对?(x)应用拉格朗日中值定理先用柯西中值定理：6再用拉格朗日中值定理：1.1.12.6补充题21．设函数上连续，在内可导，在内至少有一个零点，且，求证证设是的一个零点，即，据拉格朗日定理，所以相加即得22．设函数在上连续，在内可导，，证明存在，使得证令，则在上连续，在内可导，且，据罗尔定理，必存在，使得

5、。而故得23．设函数和在上连续，在内存在二阶导数，且，，认证：（1）在内；（2）在内至少存在一点，使。证（1）用反证法。若存在点使，则对在与上用罗尔定理，存在使再对在上用罗尔定理，知存在的假设矛盾，故在（2）令易知对在上用罗尔定理，知存在，使，即因为，故得626．设在区间上具有二阶导数，且，证明存在和使及证（1）先证存在法一用反证法。若不存在使，则在上恒有或，不妨设（对情况类似可证），则从而，与已知条件矛盾，所以在内至少存在一点，使。法二不妨设(情况类似可证)，即有故存在同理存在显然，在上用零点定理，可知存在，使（2）证明存在，使由及罗尔定理知，存在，使，再在

6、上对用罗尔定理，知存在，使.28.设不恒为常数的函数在闭区间上连续，在内可导，且，证明在内至少存在一点，使得.证因不恒为常数且，故至少存在一点，使得.于是，或者.若，则在上满足拉格朗日定理的条件，据拉格朗日定理，存在，使得.若，则对在上用拉格朗日定理，存在，使得.6