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《数学分析(华东师大版)第三章习题详解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、P471.按定义证明：（1）(2)(3)(4)(5)证:（1）不妨设则取则当时，有故(2)限制则进而有故得证.(3)故得证.(4)当时有进而对于取当时，有所以(5)(1)取当时,由(1)得即2．根据定义2叙述解：设在的某个空心邻域内有定义，A为定数.若存在某个正数对任意正数存在满足使得则称3．设证明证因为由定义当时，有故当时有即得4．证明：若则当且仅当为何值时反之也成立？证：（1）由定义有进而即（2）当时，所以当故当时有但当且时，不一定存在。例设则但不存在。综上所述，当且仅当时反之也成立。5．证明定理3.1:6.讨论下列函数在时的极限或左、右极限：(2
2、)(2).解：(1)当时,所以当时,所以由此得不存在.(2)当时,所以当时,所以由此得不存在.(3)当时,由可得所以对任意取当时有所以当时,由可得即所以对任意取当时有所以由此可知7.设证明:证:因由定义,对于任意存在当时有取则当时,有进而所以P531.求下列极限:为正整数);解(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)2.利用迫敛性求极限：解(1)当时,而由迫敛性定理,(2)当时而由迫敛性定理,进而3.设证明:(当时).证:(2)因存在,所以在的某个邻域内有界,即存在及使得因根据极限定义,对于任何存在当时有当时有取当时有所以4.设试求5.设证:因
3、所以由函数极限定义,对于任何存在当时有(1)若则当时有进而有即(2)若则当时有即6.证明证对于任何因,当时有由得所以取当时,有当时有由得所以取当时有令则当时有所以7.设(1)若在某上有问是否有为什么?(2)证明:若则在某上有解(1)不一定.例如设则在上恒有但(2)对因存在使得在上有存在在上有取则在上有P571.叙述函数极限的归结原则，并应用它不存在。解设在有定义。存在的充分必要条件是：对任意含于,当时且趋于的数列，极限存在且相等。取则但故不存在。2．设为定义在上的增（减）函数。证明：存在的充要条件是在上有界。证：不妨设为定义在上的增函数。（充分性）若在
4、上有界，设由上确界的定义：使得取因为上的增函数，故当时，有而显然有所以（必要性）若存在，设由定义，对当时，有而为为的增函数，故当时，有又显然有所以即在有界。3.(1)叙述极限存在的柯西收敛准则;(2)根据柯西收敛准则叙述不存在的充要条件,并应用它证明不存在.解(1)设函数在有定义,则极限存在的充要条件是:对于任何存在正数当时有(2)设函数在有定义,则极限不存在的充要条件是:对某个及任何正数存在且对于及任意正整数M,取则有且有所以不存在.4.设在内有定义,证明:若对于任何数列且极限都存在,则所有这些极限都相等.提示:参见定理3.11充分性的证明.证设且若
5、令显然有且但不存在,与假设矛盾,所以P601．求下列极限：解（1）（2）（3）令则(4)(5)(6)令则（7）令则（8）（9）(5)2.求下列极限为给定实数)为给定实数).解(1)(2)当时,当时所以对任何实数均有(3)(4)(5)(6)当或时显然有当时,3.证明:证当时,当时,所以而所以4.利用归结原则计算下列极限：解(1)因由归结原则所以(2),因由归结原则:又由迫敛性定理1.证明下列各式：(1)（2）；（3）(4)（5）（6）（7）证：(1)因为所以（2）所以（3）因故(4)所以即(5)故(6)设则所以即(7)设则所以即2.应用定理3.12求下列
6、极限:(1)(2)解:(1)(2)因为所以3.证明定理3.13.定理3.13(i)设在上有定义且不等于0.若为时的无穷小量,则为时的无穷大量.(ii)若为时的无穷大量,则为时的无穷小量.4．求下列函数所表示的函数的渐近线：(1)(2)(3)解:(1)设则故曲线有垂直渐近线故曲线有水平渐近线(2)设则故曲线斜渐近线故曲线斜渐近线(3)设则，故曲线有垂直渐近线与又曲线用斜渐近线5．试确定的值，使下列函数与当时为同阶无穷小：（3）(4)解：(3)故当时与当时为同阶无穷小。(4)故当时,与为同阶无穷小.
