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1、椭圆中的定点、定线、定值问题例1．（2012盐城二模）已知椭圆的离心率为,且过点,记椭圆的左顶点为.(1)求椭圆的方程；(2)设垂直于轴的直线交椭圆于两点,试求面积的最大值；AP·xyO(3)过点作两条斜率分别为的直线交椭圆于两点,且,求证:直线恒过一个定点.解:(1)由,解得,所以椭圆的方程为(2)设,,则又,所以,当且仅当时取等号从而,即面积的最大值为(3)因为A(－1,0),所以,由,消去y,得,解得x=－1或,∴点同理,有,而,∴∴直线BC的方程为,即,即所以,则由,得直线BC恒过定点(注:第(3)小题也可采用设而不求的做法,即设,然后代入找关系)相关题：（江苏2010
2、年16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。【答案】解：（1）设点P（，），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得化简得。故所求点P的轨迹为直线。（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）。直线MTA方程为：，即，直线NTB方程为：，即。联立方程组，解得：，所以点T的坐标为。（3）∵点T的坐标为∴直线MTA方程为：，即，直线NTB方程为
3、：，即。分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，4解得：、。当时，直线MN方程为：令，解得：。此时必过点D（1，0）；当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过轴上的一定点D（1，0）。例2．（2012南京二模）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P(0,1),Q(0,2),设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T。求证：点T在椭圆C上。17．（本小题满分14分）解：（1）由题意知b＝＝．…………………………3分因为离心
4、率e＝＝，所以＝＝．所以a＝2．所以椭圆C的方程为＋＝1．…………………………6分（2）证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，则直线PM的方程为y＝x＋1，①直线QN的方程为y＝x＋2．②…………………………8分证法一联立①②解得x＝，y＝，即T(，)．………11分由＋＝1可得x02＝8－4y02．因为()2＋()2＝＝＝＝＝1，所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．…………………14分证法二设T(x，y)．联立①②解得x0＝，y0＝．………………………11分因为＋＝1，所以()2＋()2＝1．整理得＋＝(2y－3)2，所以＋－12y＋8
5、＝4y2－12y＋9，即＋＝1．所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．…………………14分相关题：（2012年北京西城一模理19）已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）由，得.依题意△是等腰直角三角形，从而，故.所以椭圆的方程是.（Ⅱ）设，，直线的方程为.将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得.所以，.4若平分，则直线，的倾斜角互补，所以.设，则有.将，代入上式，整理得，所以.将，代入上式，整理得.由于上式对任意实
6、数都成立，所以.综上，存在定点，使平分.例3．（2011重庆理）如图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．解：（I）由解得，故椭圆的标准方程为（II）设，则由得因为点M，N在椭圆上，所以，故设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知因此所以所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义
7、PF1
8、+
9、PF2
10、为定值，又因，因此两焦点的坐标为相关题：（2011南通三模）(本题满分16分)在平面直角
11、坐标系xOy中，已知椭圆(a＞b＞0)的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．(1)求椭圆的方程；(2)设A，B，M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使．4(i)求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；(ii)求证：OA2+OB2为定值。思路分析:本题第(2)问中，可以证明线段AB的中点恒在定椭圆x2+2y2=1上．后一问与前一问之间具有等价关系．解：(1)依题意，得c=1．于是，a=，b=1．所以所求椭圆的方程为．(2)(i)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①，②．又设M
