弹簧振子运动的研究

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1、弹簧振子运动的研究2002级5班林锡辉13班方晓伟如图（1）所示，把一个有孔的小球安在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在光滑的水平杆上，可以在杆上滑动。小球在水平杆之间的摩擦忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也可忽略不计。这样的系统称为弹簧振子，其中的小球常称作振子。图（1）由弹簧振子的定义可以看出，振子在运动的过程中，由于合外力时刻在改变，从而导致了加速度。速度跟着不断改变，因此它的运动就显得较为复杂。为了能够更好的掌握它的运动规律，同时锻炼我们对运动的研究能力，我们对它进行了初步的研究。一、弹簧振子的周期和运动表达式1.周期规律可能影响因素：小球的质量（M），弹簧的劲度

2、系数（K）以及振子的振幅（A）。（1）周期与振幅（A）的关系。质量为m的小球，前后两次振幅分别为，，弹簧的劲度系数为K，前后两次振动的周期分别为T1，T2。推论：在前后两个运动过程中分别取两小段位移，，使得，根据胡克定律及牛顿第二定律，得，∴由于位移x是任意的，且q为定值。∴而∴7△结论：弹簧振子的周期与振幅无关。（2）周期与振子质量和劲度系数的关系。有两个弹簧振子，振子的质量分别为，，弹簧的劲度系数分别为，，并且振子的振幅相同（因为周期与振幅无关，所以不用考虑它的影响）推论：在两个运动中都取一小段位移x（任意的），同样有由于是任取的，同样可得所以因此有由此可以看出：弹簧振子的周期与

3、振子的质量的算术根成正比，与弹簧劲度系数的算术根成反比，即（其中n是一个与小球质量，弹簧劲度系数，振子振幅等无关的常数）。2.振子位移，速度，加速度的变化规律根据沙漏实验（图2）可知：弹簧振子的位移——时间图像是一条余弦曲线。因为右图沙漏实验得到的余弦曲线，实际上是由x方向上的匀速直线运动和y方向的振动的合成，因此y方向上弹簧振子的振动图像也应为余弦曲线。图（2）如图（3），以经平衡位置向右运动开始计时，则其初相为7图（3）设（A，ω>0）∴.∵∴∴∴.如图（4）是弹簧振子运动的x-t图象。图（4）由图像可见（即正面的常数η=2π）；当时，x达到正向最大，此时振子速度ν=0（振子ν-

4、t图象如图（5）所示）；当时，振子位移为0，速度达到反向最大。7图（5）（3）振子机械能的变化规律取任意时刻t，则此时系统的总机构能为：如图（6）是振子动能和弹簧势能的关系图，亦可见其机械能总量E恒等于图（6）△结论：弹簧振子在运动过程中机械能守恒，恒为上述弹簧振子均为理想化模型，在实际生活中，由于各种阻力的存在，导致振子周期出现偏差，与理论不相符；振子的振幅也会逐渐减小，机械能逐渐减小。4.恒力作用下的弹簧振子如图（7）是竖直方向上的弹簧振子，振子受到一个恒力--重力的作用。设弹簧的劲度系数为K，自然长度为，振子静止时弹簧伸长量为△x，则有：mg=k△x。现将振子向下拉伸x，则：因

5、为ΣF与x反向，所以矢量式为∴图（7）由此可见，恒力作用下的弹簧振子（此时平衡位置为静止放置时振子所在处）周期不变，运动表达式不变。二.实验验证周期公式（主要验证周期与质量和振幅的关系）71.实验装置：（1）如图（1），弹簧和小球（穿孔）穿过细杆，一端固定在支架上，另一端系着一个小球，使小球在细杆上振动。这种装置既有优点，亦有缺点。优点：可以避免小球在振动中偏离原来的轨道。缺点：由于细杆与小球间存在较大的摩擦，给实验造成较大的误差。为减小摩擦，考虑在细杆上涂一层油脂。但是油是粘性物质，会给实验造成新的误差。（2）既然水平细杆的存在会造成摩擦，那么去掉呢？则小球会下落。但如果顺应或防止

6、这种下落，实验还是可以顺利进行。①顺应下落。将水平弹簧振子变为竖直方向上的弹簧振子，如图（7），由于恒力对振子周期没有影响，因此可以用此装置实验。这种装置的优点是：可以减少阻力的影响；但当振子的振幅较大时，振子会左右摆动。图（8）②防止小球下落。考虑用细线吊住小球，但是由于左右受力不平衡，会造成小球严重脱离轨道。因此可以在小球右端加多一根劲度系数与左边相近的弹簧（此时）如图（8）虽然解决了偏离问题，但也存在一些新的问题。△当振幅太大时，小球受到细绳的拉力变大，且此拉力水平分量也变大，小球会上偏。△解决办法：（1）增加细绳长度。这样，相同振幅下，绳偏离角度变小，绳拉力的水平分量减小，且

7、小球上偏程度减小。（2）减小振子振幅，同样可以减小阻力和上偏程度。比较图（7）和图（8）装置，图（8）的装置显得优越些。因此，实验时选择图（8）装置。2.实验测取数据并分析整理按图（8）装置，取不同质量的小球，振子振幅不同（都不会太大）。测得的数据如下（弹簧劲度系数k=k1+k2=23.13+23.13=46.43N/m）振量质幅时间2cm（30次）4cm（30次）6cm（30次）平均值（1次）理论值（1次）0.133Kg11.0s11.3s12.4s0.