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1、概念、性质、定理、公式必须清楚,解法必须熟练,计算必须准确A可逆rAn()A的列(行)向量线性无关A的特征值全不为0Ax只有零解x,AxA0n,Ax总有唯一解TAA是正定矩阵AEApppp是初等阵12si存在阶矩阵nBA,使得BEA或BEn○注:全体n维实向量构成的集合叫做n维向量空间.A不可逆rAn()A0A的列(行)向量线性相关0是的特征值AAx有非零解,其基础解系即为关于A0的特征向量raEbAn
2、()○注aEbA()aEbAx有非零解=-ab向量组等价矩阵等价()具有反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同()√关于ee,,,e:12nnn①称为的标准基,中的自然基,单位坐标向量p;教材87②ee,,,e线性无关;12n③ee,,,e1;12n④tr=En;⑤任意一个n维向量都可以用ee,,,e线性表示.12n1aaa11121naaa行列式的定义Da21222n()1()jj12jnaanj1212
3、jnjnjj12jnaaann12nn√行列式的计算:①行列式按行(列)展开定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.AOAAO=ABOBOBB②若AB与都是方阵(不必同阶),则(拉普拉斯展开式)OAAmn=(1)ABBOBO③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.aOa11nnaann(1)21nn21④关于副对角线:()12aaa(即:所有取自不同行不12
4、nnn1aOaOnn11同列的n个元素的乘积的代数和)111xxx12n222⑤范德蒙德行列式:xx12xnxijx1jinnn11n1xxx12naa1112a1naaa矩阵的定义由mn个数排成的m行n列的表A21222n称为mn矩阵.记作:Aa或Aijmnmnaaamm12mnAA1121An1TAAA伴随矩阵AA*1222n2,A为A中各个元素的代数余子式.ijijAAA12nn
5、nn√逆矩阵的求法:1abdb1A1主换位①A○注:Acdadbcca副变号2初等行变换1②()AE()EA1111a1a1a1a311③aa2a22a2a1a13a3a31mnmnmnmn√方阵的幂的性质:AAA()()AA√设ABmn,,nsA的列向量为12,,,n,B的列向量为12,,,s,bb1112b1sbbb
6、则ABC,,,21222scc,,,cAc,(,is1,2,)ms12ns12iii为bbbnn12nsAxc的解AA,,,,,,AAc,,,cccc,,,c可由,,,线性表i12s12ss1212s12n示.即:C的列向量能由A的列向量线性表示,B为系数矩阵.T同理:C的行向量能由B的行向量线性表示,A为系数矩阵.aa1112a1n1c1aa111122ac
7、1n21aaacaaac即:21222n222112222n22aaacaaacnn12mnnmmm1122mnm2√用对角矩阵○左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量;用对角矩阵○右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.√两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.TTTABAC√分块矩阵的转置矩阵:TT
8、CDBDA1A1A1B1分块矩阵的逆矩阵:11BBBAAC1AA111CBAO1AO111OBOBCBBCABnAB1111AB1111nA11分块对角阵相乘:AB,