19-2含参量的反常积分

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1、§2含参量的反常积分(一)教学目的：掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法．(二)教学内容：含参量反常积分的一致收敛性及其判别法；含参量反常积分的性质；含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法，狄里克雷判别法和阿贝尔判别法；含参量反常积分的连续性，可微性与可积性定理．(1)基本要求：掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法，含参量反常积分的性质，以及含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法．(2)掌握和应用狄里克雷判别法和阿贝尔判别法．(三)教学

2、建议：(1)本节的重点是含参量反常积分的一致收敛性及魏尔斯特拉斯判别法．要求学生会用魏尔斯特拉斯判别法判别含参量反常积分的一致收敛性．(2)本节的难点是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与可积性定理的证明．对较好学生在这方面提出高要求，布置有关习题；另外，由于这方面内容与函数项级数部分有类似之处，还可要求他们作比较与总结．————————————————————含参无穷积分:函数定义在上(可以是无穷区间).以为例介绍含参无穷积分表示的函数.含参无穷积分的一致收敛性:逐点收敛(或称点态收敛)的定

3、义:,,使.引出一致收敛问题.定义(一致收敛性)设函数定义在上.若对,使得对成立,则称含参无穷积分在(关于)一致收敛.定理19.7(Cauchy收敛准则)积分在上一致收敛,对成立.例1证明含参量非正常积分在上一致收敛,其中.但在区间内非一致收敛.3.含参无穷积分与函数项级数的关系:例1计算积分.例2设函数在点的某邻域内连续.验证当充分小时,函数的阶导数存在,且.定理19.8积分在上一致收敛,对任一数列,↗,函数项级数在上一致收敛.(证略)二.含参无穷积分一致收敛判别法1.WeierstrassM判别法:设有函数,使在上有

4、.若积分,则积分在一致收敛.例2证明含参无穷积分在内一致收敛.Dirichlet判别法和Abel判别法:三.含参无穷积分的解析性质含参无穷积分的解析性质实指由其所表达的函数的解析性质.1.连续性:积分号下取极限定理.定理19.9设函数在上连续.若积分在上一致收敛,则函数在上连续.(化为级数进行证明或直接证明)2.可微性:积分号下求导定理.定理19.10设函数和在上连续.若积分在上收敛,积分在一致收敛.则函数在上可微,且.3.可积性:积分换序定理.定理19.11设函数在上连续.若积分在上一致收敛,则函数在上可积,且有.关于

5、在上的积分换序问题.例3计算积分