概率与数理统计习题选3

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1、113《概率论》计算与证明题第三章随机变量与分布函数1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率或向右或向左移动一格，若该质点在时刻0从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以表示时间n时质点的位置）。2、设为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求的概率分布。3、c应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1）（2）。4、证明函数是一个密度函数。5、若的分布函数为N（10，4），求落在下列范围的概率：（1）（6，9）；（2）（7，12）；（3）（13，15）。6、若的分布函数为N（5，4

2、），求a使：（1）；（2）。7、设，试证具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3）。8、试证：若，则。9、设随机变量取值于[0，1]，若只与长度有关（对一切），试证服从[0，1]均匀分布。10、若存在上的实值函数及以及及，使，则称是一个单参数的指数族。证明（1）正态分布，已知，关于参数；（2）正态分布，已知，关于参数；（3）普阿松分布关于都是一个单参数的指数族。但上的均匀分布，关于不是一个单参数的指数族。11、试证为密度函数的充要条件为。12、若为分布密度，求为使成为密度函数，113《概率论》计算与证明题必须而且只需满足什么条件

3、。13、若的密度函数为，试求：（1）常数A；（2）；（3）的边际分布；（4）；（5）；（6）。14、证明多项分布的边际分布仍是多项分布。15、设二维随机变量的联合密度为，试求与的边际分布。16、若是对应于分布函数的密度函数，证明对于一切，下列函数是密度函数，且具有相同的边际密度函数：。17、设与是相互独立的随机变量，均服从几何分布。令，试求（1）的联合分布；（2）的分布；（3）关于的条件分布。18、（1）若的联合密度函数为，问与是否相互独立？（2）若的联合密度函数为，问与是否相互独立？19、设的联合密度函数为试证：两两独立，但不相互

4、独立。20、设具有联合密度函数，试证与不独立，但与是相互独立的。21、若与是独立随变量，均服从普要松分布，参数为及，试直接证明（1）具有普承松分布，参数为；113《概率论》计算与证明题（2）。22、若相互独立，且皆以概率取值+1及，令，试证两两独立但不相互独立。23、若服从普阿松分布，参数为，试求（1）；（2）的分布。24、设的密度函数为，求下列随机变量的分布函数：（1），这里；（2）；（3）。25、对圆的直径作近似度量，设其值均匀分布于内，试求圆面积的分布密度。26、若为相互独立的分别服从[0，1]均匀分布的随机变量，试求的分布密

5、度函数。27、设相互独立，分别服从，试求的密度函数。28、若是独立随机变量，均服从，试求的联合密度函数。29、若相互独立，且皆服从指数分布，参数分别为，试求的分布。30、在线段上随机投掷两点，试求两点间距离的分布函数。31、若气体分子的速度是随机向量，各分量相互独立，且均服从，试证斑点服从马克斯威尔分布。32、设是两个独立随机变量，服从，服从自由度为的分布(3.14),令，试证t的密度函数为这分布称为具有自由度n的分布在数理统计中十分重要。33、设有联合密度函数，试求的密度函数。34、若独立，且均服从，试证与是独立的。35、求证，如

6、果与独立，且分别服从分布和，则与也独立。113《概率论》计算与证明题36、设独立随机变量均服从，问与是否独立？37、若（）服从二元正态分布（2.22），试找出与相互独立的充要条件。38、对二元正态密度函数，（1）把它化为标准形式（2.22）；（2）指出；（3）求；（4）求。39、设，试写出分布密度（2.12），并求出的边际密度函数。40、设是相互独立相同分布的随机变量，其密度函数不等于0，且有二阶导数，试证若与相互独立，则随机变量均服从正态分布。41、若是上单值实函数，对，记。试证逆映射具有如下性质：（1）;（2）;（3）.42、设

7、随机变量x的密度函数是（1）求常数C；（2）求a使得=.43、一个袋中有张卡写有，现从袋中任取一张求所得号码数的期望。44、设，在的条件密度分布是，求的条件下x的密度?45、设与独立同服从上的均匀分布，求的分布函数与密度函数。46、设的联合分布密度为，（1）.求常数A；（2）求给定时的条件密度函数。47、在(0,4)中任取两数，求其积不超过4的概率。48、若的分布列是（见下表）(1)求出常数A;(2)求出时的条件分布列。113《概率论》计算与证明题xЧ-10111/61/81/821/121/4A31/241/241/2449、设独

8、立的服从分布，令，求的联合密度函数及边际密度函数。50、设随机变量x的密度函数为，(1).求常数a，使P{x>a}=P{xb}=0.05。51、地下铁道列车运行的间隔时间为2分钟，旅客在任意时刻进入