高三数学多面体和球

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1、9．6棱柱、棱锥和球一、明确复习目标1.理解棱柱、棱锥的有关概念，掌握棱柱、棱锥的性质和体积计算；2.会画棱柱、棱锥的直观图，能运用前面所学知识分析论证多面体内的线面关系，并能进行有关角和距离的计算.3．了解球、球面的概念,掌握球的性质及球的表面积、体积公式,理解球面上两点间距离的概念,了解与球内接、外切几何问题的解法．二．建构知识网络一、棱柱(1)棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.(2)棱柱的性质：——侧棱、侧面、横截面、纵截面的性质①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的

2、多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.(3)棱柱的分类：①按底面多边形的边数分类：三棱柱，四棱柱，…，n棱柱.②按侧棱与底面的位置关系分类:(4)特殊的四棱柱:四棱柱→平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体.请在“→”上方添上相应的条件.(5)长方体对角线定理:长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.(6)棱柱的体积公式:,是棱柱的底面积,是棱柱的高.二、棱锥1.定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥.如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.2.正棱锥的性质——

3、侧棱、侧面的性质和一些RtΔ(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形.(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形.3.一般棱锥的性质——定理：如果棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比.4.棱锥的体积:V=Sh，其S是棱锥的底面积，h是高.三、球1.定义：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。球面所围成的几何体叫做球体.球面是到定点的距离小于或等于定长的点的集合.过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长叫做两点的球面距离.地球上的径度是个二面角

4、，纬度是个线面角。2.性质：平面截球所得的截面是圆.（1）球心和球面圆心的连线垂直于截面；（2）球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系：3.S球=4πR2；V球=πR3.三、双基题目练练手1.如图，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上;B.直线BC上;C.直线AC上;D.△ABC内部A1ABB1CC12．如图，正三棱锥P—ABC顶点P在底面上的射影在ΔABC内部，M是侧面PAB上的点，且M到点P的距离等于M到底面的距离,则点M的轨迹是()A．椭圆的一段B.双曲线的一段C.一段抛物线D.直线段MCBAP

5、3.(2005全国卷II)将半径都为1的4个铅球完全装入形状为正四面体的容品里，这个正四面体的高最小值为（）A．B．C．D．4.三条弦PA、PB、PC两两垂直的，且，，则过点P、A、B、C的球面O的半径R=；5.斜三棱柱的一个侧面的面积为S，这个侧面与它所对的棱的距离为d，那么这个三棱柱的体积为_________.6.在三棱锥S—ABC中，∠ASB=∠ASC=∠BSC=60°，则侧棱SA与侧面SBC所成的角的大小是_____________.ACSB7.地球的半径为R,北纬450纬线上有2点A、B间的球面距离为大圆周长的，则A、B两地间纬线长为◆答案提示：1-3.AAC；4.5.dS;6ar

6、ccos;7.1．提示：BC1在上底面的射影垂直于AC，必为AB.法二：AC⊥平面ABC1，从而平面ABC1⊥平面ABC……4．先确定点P、A、B、C所在的球面及其直径.5.补上一个相同的棱柱成为平行六面体；或割成三个相同的三棱锥.四、经典例题做一做【例1】如图，设三棱锥S—ABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且SA⊥BC.ABCDSO（1）求证：S—ABC为正三棱锥；（2）已知SA=a，求S—ABC的全面积.证明（1）：正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可.作三棱锥S—ABC的高SO，O为垂足，连结AO并延长交BC

7、于D.ABCDSOEF因为SA⊥BC，所以AD⊥BC.又侧棱与底面所成的角都相等，从而O为△ABC的外心，OD为BC的垂直平分线，所以AB=AC.又∠BAC=60°，故△ABC为正三角形，且O为其中心.所以S－ABC为正三棱锥.解（2）：在Rt△SAO中，由于SA=a，∠SAO=600，所以SO=a，AO=a.因O为重心，所以AD=AO=a，BC=2BD=2ADcot600=a，OD=AD=a.在Rt△SOD