考研——线性代数

《考研——线性代数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、线性代数(东北大学—李美林)第一章行列式定义1行列式中aij称为行列式的元素或元。元素aij第一个下标i称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j列。位于第i行第j列的元素称为行列式的(i，j)元。定义2把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列(也简称排列)。定义3对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序(例如n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序)，于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序。一个排列中所

2、有逆序的总和叫做这个排列的逆序数，逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。推论奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。定理2n阶行列式可定义为(t为排列p1p2…pn的逆序数)。行列式的性质：1.行列式与它的转置行列式相等；2.互换行列式的两行(列)，行列式变号；推论如果行列式的两行(列)完全相同，则此行列式等于零；3.行列式的某一行(列)中的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式；推论行列

3、式的某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面；4.行列式中如果两行(列)元素成比例，则此行列式等于零；5.若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，则此行列式等于两个分行列式之和；6.把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变。定义4在n阶行列式中，把(i，j)元aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n－1阶行列式叫做(i，j)元aij的余子式，记作Mij；记Aij=(-1)i+jMij，Aij叫做(i，j)元aij的代数余子式。定理3行

4、列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即(i，j=1，2，…，n)，这个定理叫做行列式按行(列)展开法则。推论行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和为零，即。克拉默法则如果线性方程组的系数行列式不等于零，那么方程组有惟一解。定理4如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组一定有解，且解是惟一的。推论如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。定理5如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则齐次线性方程组没有非零解。推论如果齐次

5、线性方程组有非零解，则齐次线性方程组的系数行列式必为零。16线性代数(东北大学—李美林)第二章矩阵定义1由mn个数aij(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称mn矩阵。为表示它是一个整体，总是加括弧，并用大写黑体字母表示，即。这mn个数称为矩阵Α的元素，简称为元，数aij位于矩阵Α的第i行第j列，称为矩阵Α的(i，j)元。以数aij为(i，j)元的矩阵可简记作(aij)或(aij)m×n。mn矩阵Α也记作Αm×n。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素

6、是复数的矩阵称为复矩阵。定义2只有一行的矩阵称为行矩阵，又称行向量；只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量。两个向量的行数相等列数也相等时，就称它们是同型矩阵。定义3元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O，不同型的零矩阵是不同的；从矩阵左上角到右下角的直线(叫做主对角线)上的元素都是1，其他元素都是0的矩阵叫做单位矩阵，简称单位阵，记作E；不在对角线上的元素都是0的矩阵叫做对角矩阵，简称对角阵，记作，=diag(λ1，λ2，…，λn)。定义4设有两个mn矩阵Α=(aij)和B=(bij)，那么矩阵Α与B的

7、和记作Α+B，规定为。(应该注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算)矩阵加法满足下列运算规律(设Α，B，C都是mn矩阵)：1.Α+B=B+Α；2.(Α+B)+C=Α+(B+C)；3.Α－B=Α+(－B)。定义5数λ与矩阵Α的乘积λΑ或Αλ，规定为。数乘矩阵满足下列运算规律(设Α，B为mn矩阵，λ，μ为数)：1.(λμ)Α=λ(μΑ)；2.(λ+μ)Α=λΑ+μΑ；3.λ(Α+B)=λΑ+λB。16线性代数(东北大学—李美林)定义6设Α=(aij)是一个ms矩阵，B=(bij)是

8、一个sn，那么规定矩阵Α与矩阵B的乘积是一个mn矩阵C=(cij)，其中(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)，并把此乘积记作C=ΑB。矩阵的乘法满足下列运算规律(假设运算都是可行的)：1.ΑBC=Α(BC)；2.λΑB=(λΑ)B=Α(λB)；3.Α(B+C)=ΑB+ΑC，(B+C)Α=BΑ+CΑ；4.ΑE=EΑ=Α。(必须注意，只有第一个矩阵(左矩阵)的列数与第二个矩阵(右矩阵)的行数时，两个矩阵才能相乘)定义7对于两个方阵Α，B，若ΑB=BΑ，则称方阵Α与B