线性代数考研专题

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1、考研资料苏州大学数学科学学院大学数学部一、行列式的概念、展开公式及其性质（一）行列式的概念n阶行列式aaa11121n第一章行列式Aaaa2122a2n(1)()jj12jnaa11jj12njnjj12jnaaann12nn是所有取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和，它由n！项组成，其中带正号与带负号的项各占一半，()jjj表示12n排列jj,,,j的逆序数.当jj,,,j是偶排列时，该项的前面12n12n带正号；当jj,,,j是奇排列时，该项的前面带负号.12n（二）行列式按行（列）展开公式（三）、行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等

2、.行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.Dai1Ai1ai2Ai2ainAini1,2,,n性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以数之和.同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行aa(aa)a11121i1i1n列式不变．a21a22(a2ia2i)a2na11a1ia1ja1n例如D例如a

3、aaa212ik2j2jan1an2(aniani)ann则D等于下列两个行列式之和：aaaan1ninjnja11a1ia1na11a1ia1na11(a1ika1j)a1ja1na21a2ia2na21a2ia2na21(a2ika2j)a2ja2jDrkrijan1aniannan1aniannan1(anikanj)anjanj来自于网站“微积分的教与学”http://kczx.suda.edu.cn/G2S/Calculous.jpkc1考研资料二、有关行列式的几

4、个重要公式三、关于克莱姆（Cramer）法则n如果线性方程组1.若A是n阶矩阵，则

5、kA

6、=k

7、A

8、;2.若A，B都是n阶矩阵，则

9、AB

10、=

11、A

12、·

13、B

14、；a11x1a12x2a1nxnb1*n-1a21x1a22x2a2nxnb23.若A是n阶矩阵，则

15、A

16、=

17、A

18、；-1-14.若A是n阶可逆矩阵，则

19、A

20、=

21、A

22、;axaxaxbn11n22nnnnaaa11121n5.若i(1in,2,,)是n阶矩阵A的特征值，则aaa21222nA.的系数行列式不等于零，即D012n6.若A

23、～B，则

24、A

25、=

26、B

27、.an1an2ann四、常考题型及其解题方法与技巧那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为题型一有关行列式的概念与性质的问题DDDDx1,x2,x3,,xn.【例1】已知a23a31aija64a56a15是6阶行列式中的一项，试123nDDDD确定i，j的值及此项所带符号.其中Dj是把系数行列式D中第列的元素用方程j组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即aabaa111,j111,j11nDjaabaan1n,j1nn,j1nnxxxx2123【例3】设A是n阶矩阵，且

28、A

29、=0，则22212

30、223xxxx【例2】方程fx()33324535xxxx0的根的个数为（A）A中必有两行元素对应成比例.443xxxx5743（B）A中任一行向量是其余各行向量的线性组合.（A）1.（B）2.（C）3.（D）4.（C）A中必有一列向量可由其余的列向量线性表出.（D）方程组Ax=b必有无穷多解.来自于网站“微积分的教与学”http://kczx.suda.edu.cn/G2S/Calculous.jpkc2考研资料1012【例4】(1)已知221，323，459都能被17整除，不求出行列式的值.1103（2）已知

31、

32、A，试求：1221110试证明：行列式D

33、323能被17整除.1254954（Ⅰ）AAAA；（Ⅱ）AAAA.1222324241424344x124题型二数字型行列式的计算12x24【例5】已知fx()，证明方程2012x▲1.三角化法13xxx6fx()0有小于1正根.10b01100a11bb012010a【例6】(1)计算行列式.【例6】(2)设A,计算行列式A.(2012年1月)011bb23001a0011b3