2018版高中数学人教版a版选修1-1学案：2.3.2 抛物线的简单几何性质

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1、2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案2.3.2抛物线的简单几何性质[学习目标]1.掌握抛物线的简单几何性质.2.能运用抛物线的简单几何性质解决与抛物线有关的问题.知识点一抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0性对称轴x轴x轴y轴y轴质顶点(0,0)离心率e＝1知识点二焦点弦直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的p

2、p定义知，

3、AF

4、＝x1＋，

5、BF

6、＝x2＋，故

7、AB

8、＝x1＋x2＋p.22知识点三直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点.当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点.题型一抛物线的几何性质x2y2例1已知双曲线方程是－＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物8

9、9线的准线方程.x2y2p解因为双曲线－＝1的右顶点坐标为(22，0)，所以＝22，且抛物线的焦点在x轴正89212017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y2＝82x，其准线方程为x＝－22.反思与感悟(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程.跟踪训

10、练1已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2).求抛物线的标准方程和准线方程.解(1)当抛物线的焦点在x轴上时，设其标准方程为y2＝mx(m≠0).将点M(1，－2)代入，得m＝4.∴抛物线的标准方程为y2＝4x.(2)当抛物线的焦点在y轴上时，设其标准方程为x2＝ny(n≠0).1将点M(1，－2)代入，得n＝－.221∴抛物线的标准方程为x＝－y.2221故所求的抛物线的标准方程为y＝4x或x＝－y.21准线方程为x＝－1或y＝.8题型二抛物线的焦点弦问题例2已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线

11、的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，5且

12、AB

13、＝p，求AB所在的直线方程.2p，0解由题意知焦点F2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，5若AB⊥x轴，则

14、AB

15、＝2p

16、AB

17、＝x221－x2＋y1－y211＋＝k2·y1－y22111＋5

18、＝1＋·y1＋y22－4y1y2＝2pk2＝p，k22解得k＝±2.px－所以AB所在的直线方程为y＝22px－或y＝－22.反思与感悟(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解.(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.跟踪训练2已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°，求

19、AB

20、的值；(2)若

21、AB

22、＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.解(1)因为直线l的倾斜角为

23、60°，3，0所以其斜率k＝tan60°＝3，又F2.3x－所以直线l的方程为y＝32.y2＝6x，联立3x－y＝32，29消去y得x－5x＋＝0.4若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，pp而

24、AB

25、＝

26、AF

27、＋

28、BF

29、＝x1＋＋x2＋22＝x1＋x2＋p.所以

30、AB

31、＝5＋3＝8.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知pp

32、AB

33、＝

34、AF

35、＋

36、BF

37、＝x1＋＋x2＋22＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，32017-2018学年高中数学人教A

38、版选修1-1教学案3又准线方程是x＝－，239所以M到准线的距离等于3＋＝.22题型三直线与抛物线的位置关系例3已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，直线l与抛物线C有：(1)一个公