【力学教案】 __杆件的变形__简单超静定问题

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1、第四章杆件的变形简单超静定问题一、基本要求1．熟练掌握拉（压）杆变形计算2．熟练掌握圆轴扭转变形计算与刚度条件3．掌握积分法求梁的弯曲变形4．熟练掌握叠加法求弯曲变形与梁的刚度计算5．理解超静定概念，熟练掌握简单超静定问题的求解方法6．了解弹性体的功能原理，掌握杆件基本变形的应变能计算二、内容提要1．拉（压）杆的轴向变形、胡克定律拉（压）杆的轴向变形为,,式中、分别为变形前、后杆的长度。当杆的应力不超过材料的比例极限时，可以应用胡克定律计算杆的轴向变形，即（4.1）图4.1式中，EA称为杆件的抗拉（压）刚度。显然，轴力FN为正时，△l为正，即伸长变形；轴力FN为负时，△l为负，即缩短变形。公式

2、（4.1）的适用条件：（1）材料在线弹性范围，即；（2）在长度内，FN，E，A均为应力常量。当以上参数沿杆轴线分段变化时，则应分段计算变形，然后求代数和得总变形。即（4.2）当FN，A沿杆轴线连续变化时，式（4.2）化为（4.3）2．拉压超静定问题定义杆系未知力的数目超过静力平衡方程的数目，仅用静力平衡方程不能确定全部未知力。这类问题，称为超静定问题，或静不定问题。超静定问题的求解方法根据变形协调条件建立变形几何方程，将变形与协调关系与力之间的物理关系带入几何方程得到补充方程，再与静力平衡方程联立求解，可得到全部未知力。解题步骤：（1）画出杆件或节点的受力图，列出平衡方程，确定超静定次数；（2

3、）根据结构的约束条件画出变形位移图，建立变形几何方程；（3）将力与变形间的物理关系代入变形几何方程，得补充方程；（4）联立静力平衡方程及补充方程，求出全部未知力。超静定结构的特点：（1）各杆的内力按其刚度分配；（2）温度变化，制造不准确与支座沉陷等都可能使杆内产生初应力。3．圆轴的扭转变形与刚度条件超静定问题1，变形计算圆轴扭转时，任意两个横截面绕轴线相对转动而产生相对扭转角。相距为l的两个横截面的相对扭转角为(rad)(4.4)若等截面圆轴两截面之间的扭矩为常数，则上式化为(rad)(4.5)图4.2式中称为圆轴的抗扭刚度。显然，的正负号与扭矩正负号相同。公式（4.4）的适用条件：（1）材料

4、在线弹性范围内的等截面圆轴，即；（2）在长度l内，T、G、均为常量。当以上参数沿轴线分段变化时，则应分段计算扭转角，然后求代数和得总扭转角。即(rad)(4.6)当T、沿轴线连续变化时,用式(4.4)计算。2，刚度条件扭转的刚度条件圆轴最大的单位长度扭转角不得超过许可的单位长度扭转角,即(rad/m)(4.7)式（）（4.8）根据刚度条件可以进行校核刚度、设计截面与确定许可载荷等三类刚度计算。3，扭转超静定问题定义当杆端的支反力偶矩或横截面上的扭矩仅由平衡方程不能完全确定，这类问题称为扭转超静定问题。扭转超静定问题的解法根据变形协调条件建立变形几何方程，将扭转角与扭矩间的物理关系代入变形几何方

5、程得到补充方程，再与静力平衡方程联立求解，可得全部未知力偶。4．梁的变形挠曲线近似微分方程及其积分1，挠曲线挠度与转角在外力作用下，梁的轴线由直线变为光滑连续的弹性曲线，称为挠曲线。在对称弯曲情况下，挠曲线为纵向对称平面内的平面曲线，其方程为梁横截面的形心在垂直于轴线方向的线位移，称为挠度，用表示。梁横截面相对于原来位置绕中性轴转过的角度，称为截面转角，用表示。小变形时，有图4.3在图4.3所示坐标系中，向上的挠度和反时针的转角为正，反之为负。2，挠曲线的近似微分方程及其积分在分析纯弯曲梁的正应力时，得到弯矩与曲率的关系对于跨度远大于截面高度的梁，略去剪力对弯曲变形的影响，由上式可得利用平面曲

6、线的曲率公式，并忽略高阶微量，得挠曲线的近似微分方程，即（4.9）将上式积分一次得转角方程为（4.10）再积分得挠曲线方程（4.11）式中，C,D为积分常数，它们可由梁的边界条件确定。当梁分为若干段积分时，积分常数的确定除需利用边界条件外，还需要利用连续条件。挠曲线的某些点上的挠度或转角是已知的，称为边界条件。挠曲线是一条连续光滑的曲线，在其上任意一点，有唯一确定的挠度与转角，称为连续性边界条件。3，梁的刚度条件限制梁的最大挠度与最大转角不超过规定的许可数值，就得到梁的刚度条件，即，（4.12）5．用叠加法求弯曲变形叠加原理在小变形和线弹性范围内，梁在几种载荷共同作用下任一横截面的挠度与转角，

7、分别等于每一种载荷单独作用下该截面的挠度与转角的代数和。应用叠加原理的条件小变形与材料在线弹性范围。6．简单超静定梁梁上未知力的数目超过静力平衡方程数目，仅由平衡方程不能确定全部未知力，这类梁称为超静定梁。超静定梁的解法与前述拉（压）杆、扭转超静定相同。具体步骤如下：1，首先判断超静定梁的次数。解除多余约束代之以多余约束力，得到原超静定梁的相当系统。注意解除多余约束以后的梁应该是静定梁的形式。2，