第5章 微分中值定理及其应用

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1、第五章微分中值定理及其应用l引言本章，我们将利用微分学理论进一步研究函数高一级的分析性质。我们知道，函数是数学分析的研究对象，因此，刻划函数的各种分析性质、揭示函数的几何特征，是认识、了解函数的主要手段，特别是通过几何特征更能直观地认识、了解和研究函数。到目前为止，我们已经了解了函数的连续性，已经掌握了用导数讨论函数的连续性和求曲线的切线，显然，这远远不能用来精确刻划函数，不能解决更复杂的函数的问题，如单调性、零点、渐进性等，因此，必须发展更高级的工具和理论，研究函数更高级的分析性质。我们知道，导数是更高一级的分析性质，因此，我们自然期望用导数这一工具去分析、解决这些问题。另外，进一步

2、分析我们知道：导数只是反映函数在一点的局部特征，而我们往往要了解函数的整体性态，这也需要我们研究导函数的性质。因此，我们期望用导数更进一步揭示函数的分析性质，以便更精确地刻划函数，这正是本章的目的。本章的主要内容是微分中值定理，它不仅是研究函数性质的有力工具，更在后续课程中有着非常重要的作用，可以说，它是微分学的核心。本章以研究导函数性质为主线，围绕微分中值定理及其应用展开讨论。§1微分中值定理一、Fermat定理先引入函数的极值概念。设函数f（x）在区间I上有定义，。定义1.1若存在的邻域，使得对于任意的，有，则称点为f(x)在区间I上的一个极大值点，称f（）为相应的极大值。类似，若

3、存在的邻域，使得对于任意的，有，则称点为f(x)在区间I上的一个极小值点，称f（）为相应的极小值。极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。注、从定义可知，极值是局部概念。注、极值（点）不唯一。注、极值点都是内点。因而，端点不是极值点。196注、极大值和极小值不存在确定的大小关系，极大值不一定大于极小值，极小值也不一定小于极大值。注、极值点的几何性质：对连续函数而言，在极值点处，函数曲线的走向发生变化。注、不连续点也可能成为极值点。如定义在（0，1）上的Riemann函数R(x)在无理点连续，在有理点不连续，但可以证明：每个无理点都是极小值点，每个有理点都是极大值点。事

4、实上，无理点是极小值点是显然的，下证对任意的为函数的极大值点。（和连续性的证明类似）由于满足的正整数至多有限个，因此，对应的有理点也至多有有限个，不妨设为，取，则对任意的，必有故，为极大值点。此例还说明：函数在极值点的两侧并非单调的。注、极值与最值最值相对于给定的区间来说是整体性质且具唯一性（最值点不一定唯一），最值可能在端点达到，最大值必然大于最小值（除非常数函数），这些都与极值性质形成区别。另外，内部最值点必是极值点，反之不一定。极值和最值都是函数的重要特征，也是工程技术领域中经常遇到的问题，那么，如何计算函数的极值和最值并确定相应的点？为此，我们先从几何上分析，寻找极值点应具备的

5、特性。对光滑函数来说，在极值点处应有水平的切线，即。这是一个非常明显的几何特征，这就是将要引入的Fermat定理，刻划了极值点196存在的必要条件。.定理1.1若函数f(x)在点可导，且为f(x)的极值点，则。分析抽象函数的导数符号的判断，且仅给出此点的局部极值性质，涉及到函数局部性质且与导数有关的，便是导数的定义，因此，本定理用导数的定义证明。证明：不妨设为f(x)的极值大点，则存在，使得时，有；又f(x)在点可导，因而，，另一方面，由定义，，故，必有。其几何意义是：可导极值点处的切线平行于轴。注、定理1.1给出极值点的必要条件，反之并不成立。如，有，但x=0不是极值点。注、定理的证

6、明中隐藏了这样一个结论：设f(x)在点具有右侧导数，1）、若>0，则存在，使得当时，成立；2）、若存在，使得当时，成立，则。对左侧导数有类似的性质。注、还可以用极限性质证明定理1.1：证法2、由于f(x)在点可导，由定义，则196由极限性质，则，（）其中，故，（）因此，若，则存在，当时，成立，因而，当时，，当时，，这与为f(x)的极值点矛盾，故不成立。同样，也不成立，因而，必成立。为便于极值点的计算，引入驻点的概念。定义1.2设f(x)可微，使得的点称为f(x)的驻点。推论1.1设f(x)可微，则为f(x)的极值点的必要条件是为f(x)的驻点。显然，函数在极值点的两侧，连续函数的曲线发

7、生变化，因此，极值点成为刻划函数曲线的一个主要指标，这也是我们关心极值点的原因之一。而定理1.1和其推论给出了寻找极值点的方法，即在驻点中确定极值点，也即利用导函数求出驻点，然后判断驻点处的极值性质。那么，驻点存在吗？这便是我们下一个要解决的问题。二、Rolle定理196定理1.2、若f(x)满足如下条件：（1）在上连续；（2）在)内可导；（3），则存在，使得。分析首先，定理1.2回答了驻点的存在性问题；其次，证明思路的分析。要证明的结论是导函