双曲线的渐近线教案

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1、双曲线的渐近线教案　　教学目的　　(1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画双曲线的图形．　　(2)掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求双曲线的方法，并能作初步的应用，从而提高分析问题和解决问题的能力．　　教学过程一、揭示课题　　师：给出双曲线的方程，我们能把双曲线画出来吗？　　生(众)：能画出来．　　师：能画得比较精确点吗？　　(学生默然．)　　其附近的点，比较精确地画出来．但双曲线向何处伸展就不很清楚了．在画其他曲线时，也有同样的问题．如曲线　　我们可以比较精确地画出整个曲线．因为我们知道，当曲线伸向远处时，它逐渐地越的趋向，我们是清楚的，它逐渐地

2、在x轴负方向上越来越接近x轴，即x轴为y＝2x的一条渐近线，但它的另一端则不然，它伸向何处是不够清楚的．所以双曲线和其他曲线一样，当它向远处伸展时，它的趋向如何，是需要研究的问题．今天这堂课，我们就来讨论一下“双曲线向何处去”这样一个问题．　　(板书课题：双曲线的渐近线．)　　二、讲述定义　　师：前一课我们讨论了双曲线的范围、对称性和顶点，我们回忆一下，双曲线的范围x≤－a，x≥a是怎样得出来的？　　　　直线x＝－a和x＝a的外侧．我们能不能把双曲线的范围再缩小一点？我们先看看双曲线在第一象限的情况．　　设M(x，y)是双曲线上在第一象限内的点，则　　考察一下y变化的

3、范围：　　因为x2－a2＜x2，所以　　　　这个不等式意味着什么？　　(稍停，学生思考．)　　平面区域．　　　　之间(含x轴部分)．这样，我们就进一步缩小了双曲线所在区域的范围．　　　　为此，我们考虑下列问题：　　经过A2、A1作y轴的平行线x＝±a，经过B2、B1作x轴的平行线y＝±b，以看出，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近．　　下面，我们来证明这个事实．　　双曲线在第一象限内的方程可写成　　设M(x，y)是它上面的点，N(x，Y)是直线　　上与M有相同横坐标的点，则　　　　　　设

4、MQ

5、是点M到直线　　的距离，则

6、MQ

7、＜

8、MN

9、．当x逐渐增大时，

10、

11、MN

12、逐渐减小，x无限增大，

13、MN

14、接近于零，

15、MQ

16、也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．　　在其他象限内也可以证明类似的情况．我们把两条直线　　叫做双曲线的渐近线．　　现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于实轴在y轴上的双曲线方程是由实轴在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然，前者　　　　　　　　这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向的问题，从而可比较精确地画出双手画出比较精确的双曲线．　　[提出问题，解决问题，善始善终．]三、初步练习　　(根据由双曲线求出它的渐近线方程与由渐近线求出相应的双

17、曲线方程这两要求，出四个小题让学生练习．)　　1．求下列双曲线的渐近线方程(写成直线方程的一般式)，并画出双曲线：　　(1)4x2－y2＝4；(2)4x2－y2＝－4．　　2．已知双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，且双曲线过点：　　　　求双曲线方程并画出双曲线．　　(练习毕，由学生回答，教师总结．)　　解题的主要步骤：　　第1题：(1)把双曲线方程化为标准方程；(2)求得a、b；(3)根据定义写出渐近线方程．　　第2题：(1)判断何种双曲线，设出相应的标准方程；(2)写出渐近线方程，从而得到关于a、b的一个关系式；(3)将点M代入标准方程，得到关于a、b的另一个关系式

18、；(4)解a、b的方程组，求得a、b，写出双曲线方程．　　师：这是两个关于双曲线渐近线的最基本的练习．一个是由双曲线求渐近线，比较简单；一个是由渐近线求双曲线，却比较复杂．这是因为，一个是正向思考和运算，另一个是逆向思考和运算，有一定的难度．同时，因为一条双曲线有两条确定的渐近线，而两条渐近线对应有许多双曲线，因此，求双曲线方程还必须具有另一个条件，两个条件的综合显然比较困难．我们要特别注意对逆向问题的分析，提高解决逆向问题的能力．　　[问题虽然简单，但确是基础，不仅掌握基本知识，同时有利于正、逆两方面思考问题的训练．]四、建立法则　　师：仔细分析一下上述练习的结果：

19、　　双曲线方程：4x2－y2＝4；渐近线方程：2x±y＝0．　　双曲线方程：4x2－y2＝－4；渐近线方程：2x±y＝0．　　双曲线方程：x2－4y2＝4；渐近线方程：x±2y＝0．　　双曲线方程：x2－4y2＝－4；渐近线方程：x±2y＝0．　　可以发现，双曲线与其渐近线的方程之间似乎存在某种规律．　　(启发学生讨论、归纳．)　　生甲：每项开平方，中间用正负号连结起来，常数项改为零，就得到渐近线方程．　　生乙：以各项系数绝对值的算术平方根为x、y的系数，且用正负号连结起来等于零，就是渐近线方程．　　生丙：如果两个双曲线方程的二次项相同，那么渐近线方