二阶常系数递推关系求解方法

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1、阅读材料：二阶常系数递推关系求解方法如果某数列满足涉及连续三项的递推关系，，其中是已知的非零常数，并且初始条件即前两项的数值已给出，它的通项将会是何种形式？我们把递推关系写成其中是待定系数，上式通过合并同类项，还原为与进行系数对比，有由一元二次方程根与系数关系，我们知道，是关于的一元二次方程（该方程通常写成）的两根。也就是说对于满足递推关系，的数列，其通项公式与一元二次方程的根密切相关。一般地，我们称方程及其根分别为递推关系的特征方程和特征根。我们就一元二次方程的根的情况分成两点讨论一、当时，即特征方程的判别式时，递推关系可以写成①由于与的地位对等，我们也可以写出②由①知数列是以为首项，为公比

2、的等比数列，所以有③同理，由②知④由③④消去得所以，数列的通项公式是⑤事实上，由⑤知，对于的情况，只要求出特征根与，那么递推关系，的解必定可以写成的形式，系数将由问题的初始条件确定。这样做可以减少计算量。二、当时，即特征方程的判别式时递推关系可以写成由上式知数列是以为首项，为公比的等比数列，所以有两边除以得所以数列是以为公差的等差数列，故所以数列的通项公式是⑥由⑥知，对于的情况，只要求出二重特征根，那么递推关系，的解必定可以写成的形式，系数将由问题的初始条件确定。例题1.课本第69页，第6题：已知数列中，，，，对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？略解：特征方程有相异实数根，再

3、根据初始条件求得.2.斐波那契（Fibonacci）数列：数列满足，求它的通项公式。略解：特征方程的两根是，再根据初始条件可得.例题3.已知数列中，，，，（），求这个数列的通项公式。略解：特征方程有二重根，再由初始条件，可得