奥妙的二次幂等式通解 王德忱 著

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1、奥妙的二次幂等式通解（2006年）王德忱著黑龙江省农业科学院黑河分院黑河市邮箱：hlheihedechen@163.com【摘要】本文通过探索勾股弦数公式的求解方法，升幂项完全平方法，近而由此方法给出二次幂等式无穷多个，从而揭开千古迷茫且奇妙美丽的二次幂等式神秘面纱。【关键词】勾股弦数公式二次幂等式公式升幂项完全平方法1.奇妙的数字等式1.1.有趣味的数字等式在相当多的数学资料中，经常出现一些令人称奇的各种各样的数字等式，这是科学辉煌的成就，也是人类智力的结晶，又是文明趣味的游戏，还是欣赏美感的享受。比如：12+52+62=22+32+7219432+28682+3

2、7872=19452+28642+3789263=53+43+334224814=958004+2175194+41456041445=275+845+1105+133511416=766+2346+4026+4746+7026+8946+10776等等。但是，这些数字等式一般都是凭着兴趣和好奇反复艰难的试算出来的，很少有求解公式。1.2.升幂项完全平方法求解勾股弦数公式12在这些千奇百怪的数字等式中，最重要的应是二次幂等式。而二次幂等式中首推的就是“勾股弦数”等式：a2=b2+c2。被誉为“代数学鼻祖”的古希腊数学家丢番图，他发现了全部勾股数组的公式是a=2mn，

3、y=m2-n2，z=m2+n2，其中m、n（m>n）是互质且一奇一偶的任意正整数。据有资料说：“丢番图究竟是如何得到这组式子的，人们无从知晓。”也就是说这个求解“勾股弦数”公式是怎么得到的千百年来却是一个迷。其它类型的二次幂等式所见奇少，因为深奥难得，更无公式可求了。我们现在要探究的“二次幂等式”通解问题，是要求索它们的一般规律性，即要得到几个二次幂之和等于另几个二次幂之和的实质关系，从而发现它们的求解公式。当然这是一种纯数学的思考，发掘抽象的美感，为我们学术空间增加点活跃的趣味。千古迷茫而奇妙的二次幂等式，如何揭开她神秘的面纱，使之展现美丽的风采，给人世间一个意外

4、的惊喜。这个问题当然还要从“勾股弦数”公式为切入点。现在如果要知道这个“勾股数组公式”应该是怎么求得的，不妨展开这个公式：（m2+n2）2=（m2-n2）2+（2mn）2=m4–2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=（m2+n2）2于是发现，勾股弦数公式与二项和平方式有关。再试算一下，由二个非平方项之和的平方式展开得：（d1+d2）2=d12+2d1d2+d22=d12+2d1d2+d22+2d1d2-2d1d2=（d1–d2）2+4d1d2如果使4d1d2生成平方项，不就解决了么！令：d1=a12、d2=a22为完全平方项，所以得：（a12+a22

5、）2=（a12-a22）2+（2a1a2）2或由二个非平方项之差的平方式展开得：（d1-d2）2=d12-2d1d2+d22=d12-2d1d2+d22+2d1d2-2d1d2=（d1+d2）2-4d1d2同样使4d1d2生成平方项，令d1=a12、d2=a22，所以得：（a12-a22）2=（a12+a22）2-（2a1a2）2（a12-a22）2+（2a1a2）2=（a12+a22）212这样，“丢番图究竟是如何得到这组式子的，人们无从知晓”，由此便知晓了。于是推断，利用多项和（或差）平方式能够求得更多的二次幂等式。设正整数二次幂等式通项公式为：ΣQn2=Σqm

6、2（n≥1，m≥n，为正整数）这里的n是无限项数中当先确定项数的二次幂之和，m则是相应另一些不确定项数乃至无限项数的二次幂之和。首先由具体实例的演算来求索ΣQn2=Σqm2的规律。2.升幂项完全平方求解二次幂等式公式2.1.二项式完全平方展开项完全升幂法2.1.1.当n=1、m≥3时把一个多项和（或差）的平方式以二项平方式的形式展开项求得二次幂等式，可称“二项式法”。当n=1、m≥3时，一个数的平方等于若干个数平方的和，只能由多项和平方式展开项求得二次幂等式，“多项和平方式”是指（d1+d2+…+dk）2，因为以二项式的形式展开，即是[d1+（d2+…+dk）]2这

7、样的二项和平方式，展开项数是k+1项，即有m=k+1，所以k=m-1。n=1，m=3Q12=q12+q22+q32I：（d1+d2）2=d12+d22+2d1d2使2d1d2转化升成完全平方项即可得到二次幂等式。所谓“升成完全平方项法”是指将一个代数项转化为另一种完全平方形式的代数项。如令d1=2a12、d2=a22有2d1d2=（2a1a2）2则得I1：（2a12+a22）2=（2a12）2+（a22）2+（2a1a2）2这里使d1=a12、d2=2a22也可以求得另一个公式I2，但是I1、I2只是形式上的不同实质是相同的公式，称其为“等价公式”。以I1公式计