小学奥数排列组合

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1、计数问题教学目标1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。知识点拨：例题精讲：一、排列组合的应用【例1】小新、阿呆等七个同学照像，

2、分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排。【解析】（1）P775040（种）。（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．P66720（种）.6（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×P61440种．（4）先排两边，再排剩下的5个位置

3、，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．2×P55种．240（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，P52×P55（种）.2400（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．P775040（种）.（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所5以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×P×22880种．排队问题，一般先考虑特殊5情况再去全排列。【例2】用1、2、3、4

4、、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？【解析】个位数字已知，问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题，已知n5，m2，根据排列数公式，一共可以组成P525×420个符合题意的三位数。【巩固】用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？【解析】可以分两类来看：⑴把3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有P444×3×2×124种放法，对应24个不同的五位数；⑵把2，4，5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数

5、字可以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有P336种选择．由乘法原理，可以组成3×3×6个不同的五位数。54由加法原理，可以组成2454个不同的五位数。78【巩固】用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第几个数？【解析】从高位到低位逐层分类：⑴千位上排1，2，3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从09中除千位已确定的数字之外的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取3个的排列问题，所以百、十、个位可有P939×8×7504种排列方式．由乘法原理，有

6、4×504个．2016⑵千位上排5，百位上排04时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八个数字中选择．也就是从8个元素中取2个的排列问题，即P828×756，由乘法原理，有1×5×56个．280⑶千位上排5，百位上排6，十位上排0，1，2，3，4，7时，个位也从剩下的七个数字中选择，有1×1×6×7个．42⑷千位上排5，百位上排6，十位上排8时，比5687小的数的个位可以选择0，1，2，3，4共5个．综上所述，比5687小的四位数有2016280425个，故比5687小是第2344个四位数．2343【例3】用1、2、3、4、5

7、这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？【解析】按位数来分类考虑：⑴一位数只有1个3；⑵两位数：由1与2，1与5，2与4，4与5四组数字组成，每一组可以组成P222×12个不同的两位数，共可组成2×4个不同的两位数；8⑶三位数：由1，2与3；1，3与5；2，3与4；3，4与5四组数字组成，每一组可以组成P333×2×16个不同的三位数，共可组成6×4个不同的三位数；24⑷四位数：可由1，2，4，5这四个数字组成，有P444×3×2×124个不同的四位数；⑸五位数：可由1，2，3，4，5组成，共有P555×4×3×2×1120个不同

8、的五位数．由加法原理，一共有182424120个能被3整除的数，即3的倍数．177【巩固】用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位