证明三角形三条高交于一点

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1、证明三角形三条高交于一点资料证法一：运用同一法证三条高两两相交的交点是同一点。已知：△ABC的两条高BE、CF相交于点O，第三条高AD交高BD于点Q，交高CF于点P。求证：P、Q、O三点重合证明：如图，∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠AEB=∠AFC=90°又∵∠BAE=∠CAF∴△ABE∽△ACF∴，即AB·AF=AC·AE又∵AD⊥BC∴△AEQ∽△ADC，△AFP∽△ADB∴，即AC·AE=AD·AQ，AB·AF=AD·AP∵AB·AF=AC·AE，AC·AE=AD·AQ，AB·AF=AD·AP∴AD·AQ=A

2、D·AP∴AQ=AP∵点Q、P都在线段AD上∴点Q、P重合∴AD与BE、AD与CF交于同一点∵两条不平行的直线只有一个交点∴BE与CF也交于此点∴点Q、P、O重合。证法二：连结一顶点和两高交点的线垂直于第三边，运用四点共圆性质。已知：△ABC的两条高AD、BE相交于点O，第三条高CF交高AB于点F，连结CO交AB于点F。求证：CF⊥AB。证明:∵AD⊥BC于E，BE⊥AC于E∴A、B、D、E四点共圆∴∠1＝∠ABE同理∠2＝∠1∴∠2＝∠ABE∵∠ABE+∠BAC＝90°，∴∠2+∠BAC＝90°即CF⊥AB。证

3、法三：证明两条高的交点在第三条高线上，建立直角坐标系运用代数方法证明。证明：如图6，以直线BC为x轴，高AD为y轴，建立直角坐标系，设A(0,a),B(b,0),C(c,0),由两条直线垂直的条件xCDOyABFE则三条高的直线方程分别为：解（2）和（3）得∴这说明BE和CF得交点在AD上，所以三角形的三条高相交于一点。证法四：转化为证明另一个三角形的三条中垂线（或中线）交于一点。已知：AD、BE、CF是△ABC的三条高。求证：AD、BE、CF相交于一点。证明：过点A、B、C分别作BC、AC、AB的平行线ML、M

4、N、NL∵AM∥BC，MB∥AC∴四边形AMBC是平行四边形∴AM＝BC同理，AL＝BC∴AM＝AL∵AD⊥ML∴AD是ML的垂直平分线同理，BE、CF分别是MN、NL的垂直平分线而三角形的三条垂直平分线相交于一点∴AD、BE、CF相交于一点。证法五：运用锡瓦（Ceva）定理证明。已知：AD、BE、CF是△ABC的三条高。求证：AD、BE、CF相交于一点。证明：如图，∵AD⊥BC于E，BE⊥AC于E∴△ABD∽△CBF∴（1）同理，由△ADC∽△BEC得，（2）由△AFC∽△AEB（3）三式相乘得即∴AD、BE、

5、CF相交于一点。