必修5 解三角形的应用举例

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1、第2讲解三角形应用举例★知识梳理★1.已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C=π求C，由正弦定理求a、b．2.已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C=π，求另一角．3.已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C=π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．4.已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C=π，求角C．5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东×

2、×度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度.6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角.7.关于三角形面积问题①=aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；②＝absinC＝bcsinA＝acsinB；③＝2R2sinAsinBsinC.（R为外接圆半径）④＝；⑤＝,；⑥＝·,(r为△ABC内切圆的半径)★重难点突破★1.重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，结合几何性质建模解决生活中的应用问题2.难点：实际问题向数学问题转化思路的确定3.重

3、难点：熟练掌握解斜三角形的方法.，熟悉实际问题向数学问题的转化的方法；（1）解三角函数应用题要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路,然后寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题，问题1.如图，为了计算北江岸边两景点与的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取和两个测量点，现测得，，，，，求两景点与的距离（假设在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：）解：在△ABD中，设BD=x，则，即整理得：解之：，（舍去），由正弦定理，得：,∴≈11(km).答：两景点与的距离约为11.km.（2

4、）解三角函数应用题要要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式来思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.问题2.用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度.分析：在Rt△EGA中求解EG，只有角α一个条件，需要再有一边长被确定，而△EAC中有较多已知条件，故可在△EAC中考虑EA边长的求解，而在△EAC中有角β，∠EAC＝180°－α两角与BD＝a一边，故可以利用正弦定理求解EA.解：

5、在△ACE中，AC＝BD＝a，∠ACE＝β，∠AEC＝α－β，根据正弦定理，得AE＝在Rt△AEG中，EG＝AEsinα＝∴EF＝EG＋b＝＋b，答：气球的高度是＋b.★热点考点题型探析★考点1:测量问题题型:运用正、余弦定理解决测量问题[例1](2007·山东)如图4-4-12，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？【解题思路】解决测量问题的过程先要正确作出图形，把实际问题中的条件和所求转换成三角

6、形中的已知和未知的边、角.本题应先利用求出边长,再进行进一步分析.北甲乙[解析]如图，连结，由已知，，，又，图4-4-12是等边三角形，，由已知，，，在中，由余弦定理，．．因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．【名师指引】解三角形时，通常会遇到两种情况：①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，此时应直接利用正弦定理或余弦定理;②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.【新题导练】AB1．甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以

7、每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？解析：、解:ABDC此时,甲、乙两船相距最近2．在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示）解：设游击手能接着球，接球点为B，而游击手从点A跑出，本垒为O点（如图所示）.设从击出球到接着球的时间为