选修2-1,2.3.2双曲线的简单几何性质

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1、双曲线的简单几何性质一、教学目标：1．知识与技能：①运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质.②掌握双曲线标准方程中的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念.③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题.④了解双曲线的第二定义.2．过程与方法：①通过观察、类比椭圆几何性质的研究方法，根据双曲线的标准方程研究它的几何性质.②通过观察、类比椭圆的第二定义，了解双曲线的第二定义，培养学生归纳的能力.对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识.二、教学重点、难点：重点：运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、

2、渐近线等几何性质.难点：理解双曲线的渐近线的概念及离心率所刻画的双曲线的几何特征.三、学情分析1．能力分析：①学生已掌握用椭圆简单几何性质的工具.②学生从未接触过对渐近线的概念，会感觉抽象.2.认知分析：学生已熟悉从方程讨论曲线几何性质的基本步骤.四、教学程序1.复习回顾：双曲线的标准方程：形式一：表示焦点在轴上的椭圆方程.形式二：表示焦点在轴上的椭圆方程.（其中）2.合作研究：通过提出问题、解决问题、类比归纳掌握双曲线的简单几何性质.提出问题：以为例，如果我们也按照椭圆的几何性质的研究方法来研究双曲线，那么双曲线将会具有什么样的几何性质呢？解决问题：在对椭圆的简单几何性质已经掌握的基础上，

3、比较容易引导学生从如下方面分析双曲线的简单几何性质：①.范围：.②.对称性：关于轴、轴和原点都是对称的.轴、轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫双曲线的中心.xyO-bb-aa③.顶点：双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点.顶点坐标是.如图，线段叫做双曲线的实轴，它的长为，叫做双曲线的实半轴长，线段叫做双曲线的虚轴，它的长为，叫做双曲线的虚半轴长.实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，可设为.④渐近线：直线叫做双曲线的渐近线.教学时提醒学生注意这一新概念.注意：a)如何求双曲线的渐近线？令标准方程中的1=0b)等轴双曲线的渐近线方程是提醒:在这一环节中，可结合几何画板展示双曲线与渐近线

4、无限接近，但永不相交的动态过程，让学生体会数形结合的魅力.⑤离心率：定义：双曲线的焦距与实轴长的此为，叫做双曲线的离心率.a)的范围：b)的含义：是表示双曲线开口大小的一个量，越大开口越大！增大.类比归纳：引导学生归纳焦点在y轴上的双曲线的几何性质，并做成如下的表格，简洁明了。图形方程顶点范围对称性离心率渐近线3.能力提升：例1：求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.练习：的实数轴长为_______，虚轴长_______，顶点坐标为________，焦点坐标为________，离心率为_________.设计意图：通过这一例题熟悉由双曲线的方程化为标准方程，引导学生用双

5、曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点即可求相关量或式子.例1答案：解：把方程化为标准方程得：可得实半轴长为：，虚半轴长为，焦点坐标为，离心率为，渐近线方程：练习答案：的实数轴长为___8______，虚轴长____4_____，顶点坐标为_________，焦点坐标为_________，离心率为_________.例2.求焦点在轴上，一条渐近线为且实轴长为12,的双曲线的标准方程.变式1：中心在坐标原点，离心率为的双曲线，求它的渐近线方程.变式2：已知双曲线的渐近线是，且双曲线过点,求它的标准方程.变式2：求与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线方程.设计意图：通过例2及变式1、变式2、变式

6、3掌握双曲线的渐近线方程与双曲线方程的关系及相互转化过程.例2答案：变式3答案：把求得的值为，故双曲线方程为.例3.设双曲线的半焦距为，直线经过点，且原点到直线的距离为，求双曲线的离心率.设计意图：数形结合，掌握双曲线的探讨与的关系.答案：2（注意题目中的.例4.（双曲线第二定义介绍）点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数（，求点的轨迹.总结：若一个动点到一个定点的距离和它到定直线的距离之比为常数，这个动点的轨迹是双曲线。其中定点是双曲线的焦点（左右两个），定直线为准线（左右两条），定值即常数（离心率）.双曲线的第二定义的应用：例5.点P是双曲线上一点，若点P到左焦点的距离为8，则到右准

7、线的距离为_______.例6.已知点,在双曲线上求一点P,使得的值最小.设计意图：通过例5、例6了解双曲线的第二定义，定义必须和相应准线结合.例5答案：由已知得到右准线的距离为24，由双曲线的第二定义得点到右焦点的距离为.例6答案：的最小值为点A到准线的距离，即.（引导学生关注模型的解决方法，学会用归纳类比思想分析问题）双曲线的焦半径：例7.双曲线的焦点坐标是，离心率为，是双曲线上任意一点，求证:点在右支上