2009数学竞赛题分析

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1、从真题中看方法、提升高度（2010）讲其所以然，听其所以然田祥彪析题方法一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.若均为整数且满足，则（）A．1.B．2.C．3.D．4.田老师审题：直觉做题很妙。1=1+02．若实数满足等式，，则可能取的最大值为（）A．0.B．1.C．2.D．3.田老师提示：命题人想要你做什么？命题人想考你什么？函数，常考常新，重点知识重点考查3．若是两个正数，且则（）A．.B．.C．.D．.田老师提醒：一定要看目标是什么！然后再看有什么，还需要什么？高中知识点：均值不等式的

2、应用4．若方程的两根也是方程的根，则的值为（）A．－13.B．－9.C．6.D．0.田老师提示：多项式除法你还记得吗？换成某一元，消去它就可得结果5．在△中，已知，D，E分别是边AB，AC上的点，且，，,则()A．15°.B．20°.C．25°.D．30°.【答】B.如图，延长AB到F，使BF=ED，连CF，EF．7∵，∴，，，，于是，，．又∵，，∴,．在△CDA和△CBF中，CA=CF，，AD=BF，∴△CDA≌△CBF，∴．于是，．6．对于自然数，将其各位数字之和记为，如，，则（）A．2806

3、2.B．28065.C．28067.D．28068.【答】D.把1到2010之间的所有自然数均看作四位数（如果不足四位，则在前面加0，补足四位，这样做不会改变的值）.1在千位上出现的次数为，1在百位上出现的次数为，1在十位和个位上出现的次数均为，因此，1出现的总次数为.2在千位上出现的次数为11，2在百位和十位上出现的次数均为，2在个位上出现的次数为，因此，2出现的总次数为.类似的，可求得出现的总次数均为.因此＝28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数满足方程组则.二元方

4、程组而已，如何降次而已2．二次函数的图象与轴正方向交于A，B两点，与轴正方向交于点C．已知，，则．【答】．目标：关于C的方程！它在哪里呢？7分析：数形结合，并结合韦达定理，易得结论3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝，PC＝5，则PB＝______．【答】.田老师解析：本题解法其实用更高的视角观察，只是在求P点坐标，其实P点即为分别以A和C为圆心的圆的交点X2+(Y-5)2=25Y2+(X-5)2=5联立得，P（3，1）或p(4,2)又点p在三角形ABC内部，所以

5、只取P（3，1）所以，PB=从此题看，许多初中问题，如果拿到高中来看，其思路和方法都有质的提升，原来的陌生变为熟悉，原来的难题变得容易了，其思维方式也变得更加自然和流畅。希望同学们细心体会。解题最重要的如何使思维更加自然，大家最需要学习的是，这个题目为什么这样去想，它是不是最好的方法，它是不是最自然的思维，为什么这样去想，为什么这样想和做是最自流畅的“数学翻译”，数学不过是三种语言之间的互译，我们是不是得到的是通法，否则，你只是会解题，只是知道，这样可以把题目做出来，但不知道为什么这样做，当我们没

6、有这个能力时，我们没有使自己的视野变得高远，我们只是在自我的小圈子里打转转，这时候，我们所欠缺的，就是知识了。这正说明：学习，就是不断提高自己起点的过程。学习是有乐趣的，只要你肯钻进去。作PE⊥AB，交AB于点E，作PF⊥BC，交BC于点F，设，分别在△PAE、△PCF中利用勾股定理，得①②②－①，得，所以，代入①中，得，解得，.当时，，在Rt△PAE中，由勾股定理可得.当时，，此时，所以点P在△ABC的外面，不符合题意，舍去.因此.4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的7球都要出

7、现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.【答】15.本题为推理题目，由1而7而12，（7）而13而6，（13）而2而8而14而3而9而15而4而10，此时5和11不能再放同球了，否则5而11而16而10，与两种球都放矛盾，所以，最多放15个，其中与第一个同色的共13个，其余两个放另种着色的小球。将这些球的位置按顺序标号为1，2，3，4，…….由于1号球与7号球中间夹有5个球，1号球与12号球中间夹有10个球，12号球与6号球中间夹

8、有5个球，7号球与13号球中间夹有5个球，13号球与2号球中间夹有10个球，2号球与8号球中间夹有5个球，8号球与14号球中间夹有5个球，14号球与3号球中间夹有10个球，3号球与9号球中间夹有5个球，9号球与15号球中间夹有5个球，15号球与4号球中间夹有10个球，4号球与10号球中间夹有5个球，因此，编号为1，7，12，6, 13，2，8，14，3，9，15，4，10的球颜色相同，编号为5，11的球可以为另外的一种颜色.因此，可以按照要求摆放15个球.如果球的个数多于15个，则