函数性质的综合应用例题精选

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1、函数性质的综合应用知识点一．函数的单调性1.确定函数的单调性或单调区间的常用方法：2.在解答题中常用：定义法：取值――作差――变形――定号注：为便于判断差的符号对差变形的方向是：完全平方的和或因式的积.（1）若函数在区间（－∞，4）上是减函数，那么实数的取值范围是______(答：))；（2）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围_____（答：）；（3）若函数的值域为R，则实数的取值范围是______(答：且))；∴为，单调递减区间为.(5)已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围。（答：）二.函数的奇偶性。1.具有奇

2、偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数，为奇函数，其中，则的值是（答：0）；2.确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：①定义法：如判断函数的奇偶性____（答：奇函数）。②利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）。如判断的奇偶性___.（答：偶函数）③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。3.函数奇偶性的性质：①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区

3、间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.（1）若定义在R上的偶函数在上是减函数，且=2，则不等式的解集为______.（答：）②若奇函数定义域中含有0，则必有.（2）若为奇函数，则实数＝____（答：1）.三.函数的周期性1.由周期函数的定义“函数满足，则是周期为的周期函数”得：①函数满足，则是周期为2的周期函数；②若恒成立，则；③若恒成立，则.(1)设是上的奇函数，，当时，，则等于_____(答：)；(2)定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则的大小关系为_________(答：)；（3）已知是偶函数，且=9

4、93，=是奇函数，求的值(答：993)；（4）设是定义域为R的函数，且，又，则=.(答：)12.函数的对称性。①满足条件的函数的图象关于直线对称。特别地：若x∈R时，f(a+x)=f(a－x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称；（1）已知二次函数满足条件且方程有等根，则＝_____(答：)；②形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点。（2）已知函数。求函数的图像对称点；③的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；

5、的图象先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到。（2）作出函数及的图象；（3）若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于____对称（答：轴）　　四．指数式、对数式：1.幂指数的运算法则，，，对数的运算法则，，（1）(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);(2)(a>0,a≠1,b>0,b≠1);(3)(a>0,a≠1,N>0);(4)的符号由口诀“同正异负”记忆;　2.指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真

6、数）后利用图象比较。基本思维程序是：①中间量（0再1）②化为同底利用单调性（可引进中间量：以保证同底、同真或同指）③作差或作商法（必要时可转化）3.指数函数与对数函数y=（a>0，a≠1）①互为反函数，②其单调性与a的大小有关，③图像特征：4.幂函数及其性质（只要求）.（1）都过点（1，1）.（2）时，图像过点（0，0），且在第一象限中逐渐上升，时，图像不过（0，0），且在第一象限中逐渐下降.（3）时，指大图高.时，指大图低.oyx5.函数的图象和性质；定义域值域奇偶性奇函数单调性在上单调递增；在上单调递增；6.二次函数（1）二次函数

7、的解析式。*三种常用表达式：①（定义式）；②（顶点式）；③（两根式）。（2）.透彻领悟“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的内在联系。Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0函数y=ax2+bx+c,(a>0)的图象方程ax2+bx+c=0的根无实根不等式ax2+bx+c>0的解集xx2x≠x1,2R不等式ax2+bx+c<0的解集x1

8、求解。函数性质的综合应用例题选讲例1.设函数,,,其中.记函数g(x)的最大值与最小值的差为,求的表达式并求的最小值.【答案】解:当时,当时,若,则,若,则,例2.已知函数为偶函数.(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)记集合,,判断