高三数学查漏补缺题

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高三数学查漏补缺题2018.5说明：1、个别题目有一定难度（标*的题目），请根据自己学校学生的情况谨慎选用.2、提供的题目并非一组试卷，小题（选、填）主要针对以前没有考到的知识点，或者在试题的呈现形式上没有用过的试题．3、教师要根据自己学校的学生情况，有针对性地选择使用．【集合与简易逻辑】1．已知集合，，则=()A．B．C．D．答案：D2.给出下列命题：①若命题：，使得则均有②命题“若，则”的否命题为“若”；③若为假命题，为真命题，则命题一真一假，其中正确命题的序号是（）A.①②B.②③C.①③D.①②③答案：C3.下列条件中是“”的必要不充分条件的是（）A.B.C.D.答案：B【复数】1.如果复数为纯虚数，那么实数的值为A.B.C.D.或答案：C2．在复平面内，复数对应的点为，将点绕原点逆时针旋转后得到点，则对应的复数是A．B．C．D． 答案：C3.设，（i为虚数单位），则的值为_______．答案：8【极坐标系与参数方程（理科）】1．已知直线(t为参数)与曲线交于P,Q两点，则=()A．1B．C．2D．答案：C2.在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点.若是等边三角形，则的值为___________.答案：3【不等式与线性规划】1.已知，令，，，那么之间的大小关系为（）A．B．C．D．答案：C2.设且，“不等式”成立的一个必要不充分条件是（）A．B．且C．D．答案：A3.若，则的取值范围是________.答案：4.设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点，则：(1)z=2x－y的最小值为_______；(2)的取值范围是．答案：(1)；(2). 【数列】1.设是等差数列，下列结论中正确的是（）.A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：C2.若等差数列满足，，则当________时，的前项和最大.答案：83.已知数列的前n项和，则数列的通项公式为_______.答案：4.已知数列,,,则=_______.答案：125.已知数列满足：点在直线上，若使、、构成等比数列，则=_______.答案：13【平面向量】1．设向量不平行，向量与平行，则实数．答案：2.设，向量，若，则_______.答案：3.设向量，，若，则实数________.答案：±34.如下图所示，已知平面四边形，，，，AC与BD交于点O，记，，，则（）A．B．C．D． 答案：C【程序框图】1.如图所示的程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A>1000和n=n+1B．A>1000和n=n+2C．A1000和n=n+1D．A1000和n=n+2答案：D【三角函数】1．已知角的终边经过点，且，则等于__________．答案：2.函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）.A．，B．，C．，D．，答案：D 3.已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期及其单调增区间;（Ⅱ）当时,对任意不等式恒成立,求实数的取值范围.解答：（Ⅰ）函数的定义域为，因为所以，最小正周期因为的单调递增区间为，令，得．又因为的定义域为，所以的递增区间为（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上单调递增，所以，当时，，所以，恒成立，即恒成立．①当m=0时，上式变为1≥0，恒成立；[来源:Z|xx|k.Com]②当时，若上式对于恒成立，只需m＞0且成立，解得．综上,的取值范围是 【解三角形】1.在中,内角所对的边长分别是，已知，．（Ⅰ）若的面积,则=_______,=_______；（Ⅱ）若有且仅有一解，则a的取值范围是_______．答案：（Ⅰ）2，2；（Ⅱ）2.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度m.答案：1003.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若，求的取值范围．解答：（Ⅰ）法一：因为，由正弦定理可得．即，所以．因为在△ABC中，，所以又，所以，．所以△ABC为的直角三角形．法二：因为，由余弦定理可得，即． 因为，所以．所以在△ABC中，．所以△ABC为的直角三角形．（Ⅱ）因为=．所以．因为△ABC是的直角三角形，所以，且，所以当时，有最小值是．所以的取值范围是．【排列组合与二项式定理】1.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_______.（用数字作答）答案：96*2.某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查．若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是（）A．B．C．D．答案：D3.已知的展开式中的系数是10，则实数的值是_______.答案：14.若的二项展开式中各项的二项式系数之和是，则_______，展开式中的常数项为_______．（用数字作答）答案：6，15【概率统计】1.某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为______的学生．答案：37（注：仅以此例补漏抽样方法，分层抽样不再补例．） 2.了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，，，则它们的大小关系为.（用“”连接）答案：＞＞3．某公司为了解用户对其产品的满意度，从两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62738192958574645376[来源:学科网]78869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；地区地区（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：1.满意度评分2.低于70分3.70分到89分4.不低于90分5.满意度等级6.不满意7.满意8.非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.解答：（Ⅰ）由题意知，两地区用户满意度评分的茎叶图如下. A地区B地区4567896813643245564233469688643321928651137552通过茎叶图可以看出，地区用户满意度评分的平均值高于地区用户满意度评分的平均值；地区用户满意度评分比较集中，地区用户满意度评分比较分散.（Ⅱ）记为事件：“地区用户的满意度等级为满意或非常满意”，记为事件：“地区用户的满意度等级为非常满意”，记为事件：“地区用户的满意度等级为不满意”.记为事件：“地区用户的满意度等级为满意”.则与相互独立，与相互独立，与互斥，于是：．所以．由题知，，，，发生的频率分别为，，，．故，，，，故．即的概率为. 【立体几何】1.已知a，b是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则A.a∥α，a⊥b，则b⊥αB.a⊥α，a⊥b，则b∥αC.aα，bα，a∥β，b∥β，则α∥βD.a∩b=A，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β答案：D2.如图所示，正方体中E为棱的中点，用过点的平面截该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（）答案：A3.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=3，点E、F分别在线段AB、AC上，且EF//BC，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置，使得二面角P-EF-B的大小为60°.（Ⅰ）设平面PEB∩平面PFC=直线m，判断直线m是否与直线CF平行，并说明理由．（Ⅱ）若点E为线段AB的靠近B点的三等分点，（ⅰ）求证：PB⊥CF；（ⅱ）求PC与平面PEF所成角的正弦值.解答：（Ⅰ）不平行．若不然，由m//CF，mÌ平面PEB，CFË平面PEB，可知：CF//平面PEB.又CFÌ平面CFEB，平面CFEB∩平面PEB=BE，所以，CF//BE.与题设CF∩BE=A矛盾．（Ⅱ）（ⅰ）证明：在Rt△ABC中，，．，．翻折后垂直关系没变，仍有,．又，．∵EFÌ平面BCFE，∴平面BCFE⊥平面PBE．,二面角的平面角，，又,由余弦定理得, ,．又∵平面BCFE⊥平面PBE，平面BCFE∩平面PBE=BE，∴PB⊥平面BCFE．∵CFÌ平面BCFE，∴PB⊥CF．（ⅱ）由（ⅰ）知，PB，BC，BE两两垂直．以点为原点，分别以、、BP所在的直线为、、z轴，建立空间直角坐标系B-xyz，如图．则.设平面的法向量由可得设PC与平面PEF所成的角为，则，即PC与平面PEF所成的角的正弦值为．【函数与导数】1.设函数，则满足的x的取值范围是A．，2]B．[0，2]C．[1，+）D．[0，+）答案：D2.已知函数，若，且，试比较与的大小关系.答案：3.已知函数=Acos()的图象如图所示，，则=（）A.B.C.－D.答案：B*4.已知函数，若 ，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.答案：D*5.已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.答案：C*6.给出下列四个函数：①；②；③；④.这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是(　　)A.①④②③B.①④③②C.④①②③D.③④②①答案：A*7．设函数①若在区间上不单调,实数的取值范围是______；②若且对任意恒成立，则实数的取值范围_______.[答案：；8.已知函数：（Ⅰ）若函数的最小值为-1，求实数的值；（Ⅱ）若，且有，求证：.解答：（Ⅰ）定义域为R，因为，令，得 当变化时，，变化如下表：0单调递减极小值单调递增所以是函数极小值点，也是最小值点，所以，解得；（Ⅱ）由题可知，并且有，，记，，当时，，即，所以在区间上单调递增，所以有，结论成立.9.已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，；（Ⅲ）如果，且，证明．解答：（Ⅰ）令，解得当x变化时，，的变化情况如下表：x（）1（）+0- 极大值所以在（）内是增函数，在（）内是减函数．函数在处取得极大值，且=．（Ⅱ）由题意可知，得．令，即．于是．当时，，从而，又，所以，从而函数在[1，+∞）上是增函数．又=，所以时，有>=0，即>．（Ⅲ）（1）若，由（Ⅰ）及，得，与矛盾．（2）若，由（Ⅰ）及，与矛盾．根据（1）（2）得由（Ⅱ）可知，>，=，所以>，从而>．因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数在区间（）内是增函数，所以>，即>2．10.已知函数，．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若在区间上存在不相等的实数,使成立，求的取值范围；（Ⅲ）若函数有两个不同的极值点，，求证：.解答：（Ⅰ）当时，，．由，解得，.当时，f¢(x)＞0，f(x)单调递增； 当时，f¢(x)＜0，f(x)单调递减；当时，f¢(x)＞0，f(x)单调递增．所以函数的单调增区间为，，单调减区间为．（Ⅱ）依题意即求使函数在上不为单调函数的的取值范围..设，则，.因为函数在上为增函数，当，即当时，函数在上有且只有一个零点，设为.当时，，即，为减函数；当时，，即，为增函数，满足在上不为单调函数.当时，，，所以在上成立（因在上为增函数），所以在上成立，即在上为增函数，不合题意.同理时，可判断在上为减函数，不合题意.综上.(Ⅲ)．因为函数有两个不同的极值点，即有两个不同的零点，即方程的判别式，解得.由，解得．此时，.随着变化时，和的变化情况如下：＋－0＋↗极大值↘极小值↗所以是函数的极大值点，是函数的极小值点.所以为极大值，为极小值．所以因为，所以．所以． 【解析几何】1.直线的倾斜角的取值范围是.答案:2.已知直线与直线平行，则的值为（）A.0或3或B.0或3C.3或D.0或答案：D3.已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（）A．24B．20C．0D．－4答案：B4.已知点,.若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为答案；45.在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为1，圆心在上.若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.答案；6.已知抛物线:焦点为，点在上的动点，，则答案：*7.若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是()A.[]B.[]C.[D.答案：B*8.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心、1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是_______.答案：9.已知椭圆：的上下顶点分别为，且点．分别为椭圆的左、右焦点，且． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）点是椭圆上异于，的任意一点，过点作轴于，为线段的中点．直线与直线交于点，为线段的中点，为坐标原点．求的大小．解答：(Ⅰ)依题意，得．又，在中，，所以．所以椭圆的标准方程为．(Ⅱ)设，，则，．因为点在椭圆上，所以．即．又，所以直线的方程为．令，得．又，为线段的中点，所以．所以，．因为，所以．．10.在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线的方程为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线与轴、轴分别相交于两点，试求面积的最小值；（Ⅲ）设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：点 三点共线．解答：（Ⅰ）依题意可知，，所以椭圆离心率为．（Ⅱ）因为直线与轴，轴分别相交于两点，所以．令，由得，则．令，由得，则．所以的面积．因为点在椭圆上，所以．所以．即，则．所以．当且仅当，即时，面积的最小值为．（Ⅲ）①当时，．当直线时，易得，此时，．因为，所以三点共线．同理，当直线时，三点共线．②当时，设点，因为点与点关于直线对称， 所以整理得解得所以点．又因为，，且．[来源:学§科§网Z§X§X§K]所以．所以点三点共线．综上所述，点三点共线．11.已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且△是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线交椭圆于，两点，且使点为△的垂心(即三角形三条高线的交点)？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．解答：（Ⅰ）由△是等腰直角三角形，得，，故椭圆方程为．（Ⅱ）假设存在直线交椭圆于，两点，且为△的垂心， 设，因为，，故．于是设直线的方程为，由得．由，得，且,．由题意应有，又，故，得．即．整理得．解得或．经检验，当时，△不存在，故舍去．当时，所求直线存在，且直线的方程为．12.在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线．（Ⅰ）若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；（Ⅱ）若抛物线上存在相异两点P和Q关于直线对称，求的取值范围．解答：（Ⅰ）因为直线与轴的交点坐标为，所以抛物线的焦点为，所以，故．（Ⅱ）法一：设点，，则由，得，故，又因为关于直线对称，所以，即，所以，又，所以，故． 所以，、是关于y的方程的两相异实根，因此，解得．法二：设点，，线段的中点，因为点和关于直线对称，所以直线垂直平分线段，于是直线的斜率为，则可设其方程为．由消去得，（*）因为和是抛物线上的相异两点，所以，从而，化简得．方程（*）的两根为，从而．因为在直线上，所以．又因为在直线上，所以，即．于是有，所以，因此的取值范围为．13.已知：在上，直线倾斜角为，且.证明直线过定点.分析：（1）条件如何代数化？，，（2）直线的代数化，，(3)研究直线的方程，也就是找之间的关系. 关键条件：，，得直线：，直线过.*【创新题】1．设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数满足：①；②对任意当时，恒有，那么称这两个集合S和T“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（）A．B．C．D．答案：D2．若直角坐标系内A、B两点满足：（1）点A、B都在图象上；（2）点A、B关于原点对称，则称点对(A,B)是函数的一个“和谐点对”，(A,B)与(B,A)可看作同一个“和谐点对”．已知函数，则的“和谐点对”有（）A.个B.个C.个D.个答案：B3.设函数，（是常数，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为________.答案：π4．已知，若函数图象的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是__________．（结果用区间表示）答案：5.已知函数(，，均为正的常数)的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（）. A.B.C.D.[来源:学_科_网]答案：A6.已知a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在的直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最小值为60°；其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）.答案：②③7.在棱长为2的正方体中，点E为棱的中点，点P，Q分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为_______．答案：8.如图，在正方形中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为(0,10)，分别将线段OA和AB十等份，分点分别记为和，连接，过作x轴的垂线与交于点．下列说法正确的是（）A.点都在同一条直线上B.点都在同一条抛物线上C.存在点在直线AC上D.存在点使得[来源:学科网]答案：B9.设直线与抛物线相交于两点，与圆：相切于点，且为线段中点，试写出一个r的值：_______，使这样的直线恰有条．答案：满足的任意实数均可10.设数列的前项和为．若对任意正整数，总存在正整数，使得 ，则称是“数列”．（Ⅰ）若数列的前项和，证明：是“数列”；（Ⅱ）设是等差数列，其首项，公差．若是“数列”，求的值；（Ⅲ）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立．解答：（Ⅰ）当时，，当时，，∴时，，当时，，∴是“H数列”．（Ⅱ）对，使，即取得，∵，∴，又，∴，∴.（Ⅲ）设的公差为d令，对，，对，则，且为等差数列.的前n项和，令，则当时；当时；当时，由于n与奇偶性不同，即非负偶数，因此对，都可找到，使成立，即为“H数列”．的前n项和，令，则∵对，是非负偶数，∴即对，都可找到，使得成立，即为“H数列”因此命题得证.