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《概率论与随机过程题集(第2章)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第二章概率论与随机过程2-16图P2-16中的电路输入为随机过程X(t),且E[X(t)]=0,()=(),即X(t)为白噪过程。（a）试求谱密度（f）。（b）试求()和E[Y(t)]。CRY(t)X(t)图P2-16解：（a）=又系统函数==∴(b)[]=∴[]=2-20一离散时间随机过程的自相关序列函数是，试求其功率密度谱。解：由功率密度谱的定义知＝＝＝＋＝＋＝＋∴＝＋即为所求。2-23试证明函数＝，=0，，，…在区间[]上为正交的，即所以，抽样定理的重建公式可以看作带限信号的级数展开式，其中权值为的样值，且{}是级数展开式中的正交函数集。证明：由题得＝＝∴命题得证。
2、2-24系统的噪声等效带宽定义为式中,。利用该定义，试确定图P2-12中的理想带通滤波器和图P2-16中的低通系统的噪声等效带宽。０－CRY(t)X(t)１BB图P2-12图P2-16解：(1)对于图P2-12有∴图P2-12的系统的等效带宽为B(2)对于图P2-16有==第三章信源编码3-4X、Y是两个离散随机变量,其概率为P(X=x,Y=y)=P(x,y)证明：I(X,Y)≥０，当且仅当X和Y统计独立时等号成立。证明：∴≥0,当且仅当X和Y统计独立时此时,3-5某DMS信源输出由可能的字符，，…，组成，其发生概率分别是，，…，。证明信源熵至多是。证明：由熵定义可知＝；
3、又∵＝1∴－＝－＝－＝又∵＝∴－＝＝＝0∴当且仅当＝时等号成立。3-11设和是两个联合分布的离散随机变量（a）证明：＝－＝－(b)利用上述结果证明：＋在什么情况下上式的等号成立?（c）证明：当且仅当和独立时上式等号成立。证明：(a)由离散随机变量的边缘概率可知＝∴＝－＝－∴同理可知：（b）=∵∴当=1时，等号成立。(c)∵由3-4的结论可知：∴若存在不独立，使得即∵不独立，所以与以上推论相互矛盾；∴当且仅当相互独立时上式等号成立。3-23一个无记忆信符源的字集为{-5,-3,-1,0,1,3,5},相应的概率分别是{0.05,0.1,0.1,0.15,0.05,0.25,
4、0.3},(a)计算信源熵。(b)假设信源输出按如下量化规则量化,计算量化后的信息熵。解：(a)由熵的定义可得＝－－－－取2作底可得＝(b)量化后的字符集为{,}且＝＋＋＝＝－＝此时的熵为＝＝－－取2作底可得＝0.883-25对下列二进制序列做L-Z信源编码：0001001000000110000100000001000000101000100000011010000000110再从编成的L-Z信源码中恢复原序列。解：将该二进制序列做如下分解，可得到下列码段：0，00，1，001，000，0001，10，00010，0000，0010，00000，101，00001，00
5、0000，11，01，0000000，110可得L-Z算法字典如下：字典位置字典内容码字10000100000002000100000001030001110000014001000010001015001010000001006001100001001011700111100001108010000001000110090100100000010101001010001000100011010110000001001012011001010011111301101000010100111401110000000010110150111111000111161000001
6、0000111710001000000001110018100101100111103-30某加性高斯白噪声信道的输出是,此处是信道输入，是噪声，概率密度函数为，如是及的白高斯输入，计算：(a)条件差熵。(b)平均互信息。解：(a)∵已知信源的概率刻度函数为，为加性噪声，∴，∴条件熵为(b)平均互信息为3-38考虑一个平稳随机信号序列，其均值为0，自相关序列1（n=0）0.5(n=)0(其它)（a）的一阶最小MSE预测器为＝，计算预测系数以及相应的最小均方误差。（b）对于二阶预测器＝＋重复（a）的问题。解：（a）由＝且，可得＝＝＝0.5∴＝此时最小均方误差为＝＝＝＝－＋＝
7、＝（b）二阶最小MSE预测器此时，，∴∴∴，此时的最小均方误差为＝＝＝＝第四章通信信号与系统的表征4-9已知一组M个正交信号波形，，，他们具有相同的能量。现定义一组新的M个波形＝，，试证明这M个信号波形{}有相同的能量，即并且是等相关的，相关系数为证明：由能量定义可得＝＝＝＝－＋∵，为正交向量∴＝＝即M个信号波形{}有相同的能量。又∵＝＝＝＝＝＝即证。0.50.54-9考察图P4-10所示的3个波形。01234t-0.50.50.5t040.5－0.5t024图P4-10（a）试证明这些波形是标准正交的。（b）如果－1＝1－1
