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《概率论与随机过程题集(第2章)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章概率论与随机过程2-16图P2-16中的电路输入为随机过程X(t),且E[X(t)]=0,()=(),即X(t)为白噪过程。(a)试求谱密度(f)。(b)试求()和E[Y(t)]。CRY(t)X(t)图P2-16解:(a)=又系统函数==∴(b)[]=∴[]=2-20一离散时间随机过程的自相关序列函数是,试求其功率密度谱。解:由功率密度谱的定义知===+=+=+∴=+即为所求。2-23试证明函数=,=0,,,…在区间[]上为正交的,即所以,抽样定理的重建公式可以看作带限信号的级数展开式,其中
2、权值为的样值,且{}是级数展开式中的正交函数集。证明:由题得==∴命题得证。2-24系统的噪声等效带宽定义为式中,。利用该定义,试确定图P2-12中的理想带通滤波器和图P2-16中的低通系统的噪声等效带宽。0-CRY(t)X(t)1BB图P2-12图P2-16解:(1)对于图P2-12有∴图P2-12的系统的等效带宽为B(2)对于图P2-16有==第三章信源编码3-4X、Y是两个离散随机变量,其概率为P(X=x,Y=y)=P(x,y)证明:I(X,Y)≥0,当且仅当X和Y统计独立时等号成立。证明:
3、∴≥0,当且仅当X和Y统计独立时此时,3-5某DMS信源输出由可能的字符,,…,组成,其发生概率分别是,,…,。证明信源熵至多是。证明:由熵定义可知=;又∵=1∴-=-=-=又∵=∴-===0∴当且仅当=时等号成立。3-11设和是两个联合分布的离散随机变量(a)证明:=-=-(b)利用上述结果证明:+在什么情况下上式的等号成立?(c)证明:当且仅当和独立时上式等号成立。证明:(a)由离散随机变量的边缘概率可知=∴=-=-∴同理可知:(b)=∵∴当=1时,等号成立。(c)∵由3-4的结论可知:∴若存
4、在不独立,使得即∵不独立,所以与以上推论相互矛盾;∴当且仅当相互独立时上式等号成立。3-23一个无记忆信符源的字集为{-5,-3,-1,0,1,3,5},相应的概率分别是{0.05,0.1,0.1,0.15,0.05,0.25,0.3},(a)计算信源熵。(b)假设信源输出按如下量化规则量化,计算量化后的信息熵。解:(a)由熵的定义可得=----取2作底可得=(b)量化后的字符集为{,}且=++==-=此时的熵为==--取2作底可得=0.883-25对下列二进制序列做L-Z信源编码:0001001
5、000000110000100000001000000101000100000011010000000110再从编成的L-Z信源码中恢复原序列。解:将该二进制序列做如下分解,可得到下列码段:0,00,1,001,000,0001,10,00010,0000,0010,00000,101,00001,000000,11,01,0000000,110可得L-Z算法字典如下:字典位置字典内容码字1000010000000200010000000103000111000001400100001000101
6、50010100000010060011000010010117001111000011080100000010001100901001000000101010010100010001000110101100000010010120110010100111113011010000101001114011100000000101101501111110001111610000010000111710001000000001110018100101100111103-30某加性高斯白噪声信道的输出是,
7、此处是信道输入,是噪声,概率密度函数为,如是及的白高斯输入,计算:(a)条件差熵。(b)平均互信息。解:(a)∵已知信源的概率刻度函数为,为加性噪声,∴,∴条件熵为(b)平均互信息为3-38考虑一个平稳随机信号序列,其均值为0,自相关序列1(n=0)0.5(n=)0(其它)(a)的一阶最小MSE预测器为=,计算预测系数以及相应的最小均方误差。(b)对于二阶预测器=+重复(a)的问题。解:(a)由=且,可得===0.5∴=此时最小均方误差为====-+==(b)二阶最小MSE预测器此时,,∴∴∴,此
8、时的最小均方误差为====第四章通信信号与系统的表征4-9已知一组M个正交信号波形,,,他们具有相同的能量。现定义一组新的M个波形=,,试证明这M个信号波形{}有相同的能量,即并且是等相关的,相关系数为证明:由能量定义可得====-+∵,为正交向量∴==即M个信号波形{}有相同的能量。又∵======即证。0.50.54-9考察图P4-10所示的3个波形。01234t-0.50.50.5t040.5-0.5t024图P4-10(a)试证明这些波形是标准正交的。(b)如果-1=1-1