学位论文-—泰勒公式的应用研究数学专业.docx

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1、分类号：O172.1单位代码：106密级：一般学号：1060208014043本科毕业论文（设计）题目：泰勒公式的应用研究专业：数学与应用数学泰勒公式的应用研究摘要：泰勒公式是微分学中尤为重要的内容，可以用它证明等式和不等式、求中值点的极限、近似计算、研究函数图形的局部形态、研究线形插值等.鉴于泰勒公式在分析和解决数学问题中的广泛应用，各高校都将其作为数学类某些专业研究生入学考试着重考查知识点之一.本文通过对某些例题的分析和证明，简单介绍了泰勒公式的几种应用.数学本身是一门综合性较强的学科，对于泰勒公式应用的学习我们应该善于总结方法和技巧，方便我们以后的深造.关键字：泰

2、勒公式;极限;不等式;矩阵;近似值TheapplicationofTaylor'sformulaAbstract:theTaylorformulaisparticularlyimportantinthetheoryofdifferentialcontent,itcanbeusedtoproveequalityandinequality,andthemedianpointofthelimitoffunction,approximatecalculation,graphics,thelocalformoflinearinterpolation,etc.Inviewofthe

3、Taylorformulaiswidelyusedinanalysisandsolvingmathproblems,variouscollegesanduniversitieshavecertainprofessionalpostgraduateentranceexaminationasamathclassemphaticallyexaminesoneofknowledge.Inthispaper,throughtheanalysisandproofofsomeexamples,simplyintroducesseveralapplicationofTaylorform

4、ula.Themathematicsitselfisacomprehensivesubject,weshouldbegoodatsummingupthemethodsandtechniquesfortheapplicationoftheTaylorformulaforlearning,convenientforourfurthereducationinthefuture.Keywords:Taylorformula;limit;inequality;matrix;approximationvalue0引言泰勒定理在数学发展史上具有较深远的影响，并有许多数学家为之付出了大

5、量的时间和精力.数学工作者大都注重于泰勒定理的应用，对于泰勒公式的出现，他们却不以为然.直到爱丁堡大学教授麦克劳林注意到泰勒公式存在时的特殊情形，即函数在零点时的展开式.之后，人们才开始不断地研究泰勒公式.高等数学中需要处理的函数一般来说都比较复杂，而这些函数间的运算，如求极限、求积分、证明不等式等相对来说更不容易.在有些情况下，并不需要函数的精确表示，满足一定条件的近似值也能解决问题.所以，用一种比较简单的函数近似其它比较复杂的函数，来代替解决问题，成为化繁为简、化难为易的一种思想.泰勒公式就是满足这种思想的一个有力武器，它是把任意一个复杂函数展成一个幂级数，而幂级数

6、就是一个比较简单的函数.为什么任意函数都可以展成泰勒级数呢？数学分析中的这一结论其实来自于复变函数中所学习的泰勒级数.设函数在区域D解析，则在D内任一点的邻域内可展成幂级数（只要这个邻域包含在D内），即其中为洛朗系数.C为圆环域内绕的任一正向简单闭曲线，要把这一结论运用到实数域内，还需做些调整，因为函数不可能在实数域内解析故变更为函数在某点具有阶导数.有了这个定理的保证，泰勒公式的好处就显而易见了，试想一下，能够把一个抽象函数转化为简单的多项式函数，对我们研究与函数有关的数学问题而言是十分有意义的.多项式函数简单明了又易于计算，不难发现泰勒公式的应用之广泛.所以，在经过

7、对泰勒公式更深一层的了解后，我觉得讨论它的应用时非常有价值的.1.预备知识泰勒公式的定义及常见函数的泰勒展式：1.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式若函数在存在n阶导数，则……（1）这里为佩亚诺型余项，称（1）为在点的泰勒公式.1.2带有拉格朗日型余项的泰勒公式若函数在的某邻域内存在直至阶连续导数，则……（2）这里为拉格朗日型余项，其中在与之间，称（2）为在的泰勒公式.当时，（1）和（2）式分别为麦克劳林公式：……（3）……（4）常见函数的展开式：2.泰勒公式的应用2.1证明不等式在高等数学研究中，会遇到很多证明不等式的问题，对于这些不等式的证