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1、关于一阶线性微分方程积分因子的求法摘要：在学习微分方程过程中,总会遇到一些微分方程无从下手求解,但只要它转化为恰当方程求解就变得简单,但转化时需要求解出积分因子,因此找出积分因子对解题具有重要意义.从课本定义理论出发,归纳总结了有关积分因子的一些知识,详细讨论了它的一般求解方法;并收集资料归纳出几种特殊类型微分方程积分因子的求法.文章介绍一些特定条件下微分方程如何直接、有效的计算积分因子,从而高效的求解的方法.同时简要说明了,在求解此类型题目时的心得体会.关键词：微分方程;恰当方程;积分因子1.引言常微分方程是数学科学
2、联系实际的主要桥梁之一,其主要研究的问题是对常微分方程的求解.在常微分方程理论中,一阶微分方程的求解是整个微分方程求解的基础,一阶常微分方程一般的有两种方法求解：一是以可变量分离方程为基础,通过适当的变量代换把一阶微分方程化为可积型方程;另外就是以恰当微分方程为基础,采取积分因子法把一阶微分方程转化为恰当微分方程求解.对于恰当微分方程我们有一个通用的求解公式.但是,就如大家都知道的,并不是所有的一阶微分方程的都是恰当微分方程.对于这类不是恰当微分方程的一阶常微分方程该如何求出它的解呢,这就需要用到这里我们讨论的积分因子
3、了.而这种利用积分因子将方程化为恰当微分方程进行求解的方法既灵活又难掌握,所以系统的研究积分因子的求法很有必要且是非常有意义的.通过相关资料的查阅及分析,现有的教材对一阶微分方程积分因子的求法都仅局限于一些简单的情况,介绍的求解方法都比较零散,对积分因子的求法没有一个系统全面的总结.然而寻找积分因子不是容易的事情,一般的解题方法只介绍了依据个人经验或者通过观察来寻找积分因子.但本文我通过了解积分因子的定义、讨论了积分因子存在的充要条件、判断恰当微分方程充要条件以及求解积分因子的几种方法和给出了若干特殊类型的积分因子的求
4、法,来缩短我们求解一阶线性微分方程的时间.文章最后我通过实例来说明应用方法,文章虽给出了一些以特殊类型的积分因子求解线性微分方程的方法,但是依然存在许多用以下方法难以解决的问题,还需要继续努力探索.恰当微分方程的定义[1]若方程的左端恰好是某个二元函数的全微分,则称上式式为恰当微分方程.判断恰当微分方程的充要条件若方程分别对求偏导数,以及的连续性可得到是为恰当微分方程的充要条件.积分因子的定义若对于一阶微分方程其中,在矩形域内是的连续函数,且有连续的一阶偏导数．若存在连续可微的函数,使得,为一恰当方程,即存在函数,使．
5、则称为方程的积分因子．显然,此时是上式的通解,因而也就是方程的通解．积分因子存在的充要条件先假设对于方程,存在这样的连续可微函数使得方程可变为由于,显然与同解,可得函数为的积分因子的充要条件为即．但方程是个以为未知数的一阶线性偏微分方程,要想通过解方程来求积分因子通常很困难.但在若干特殊情形中，求的一个特解还是容易的，所以也就提供了寻求特殊形式的积分因子的一个途径.求解积分因子的几种方法[2]观察法求积分因子法对于一些简单的微分方程,用观察就可以得出积分因子．例有五种不同形式的积分因子,,,,;的积分因子是：,作用到方
6、程后得到的全微分方程是：;的积分因子是：．要使用观察法求出积分因子,我们就要熟记一些常见简单二元函数的全微分,具体类型如下：,,,,,．熟记、理解、掌握并利用几种简单微分方程的积分因子,便可以提高我们求解有关微分方程的做题效率．例求解微分方程：．解将原方程各项重新组合后可以写成根据上面结论,是的积分因子,而是的积分因子,从而可得原方程的积分因子为,于是有即两边积分得原方程解为．总结：观察法只适用于求解简单的微分方程的积分因子,有的可以直接看出,有的则需要将原方程通过重新组合,再运用观察法得出．分组法求积分因子法对于一些
7、复杂的方程,往往不容易直接求出它们的积分因子,这是可以把它的左边分组,利用分组求解积分因子,然后再求整体的的积分因子．例如分成两组： 可分别求每个的积分因子和,也就是如果有,使：,．于是借助,常可求得得积分因子．定理如果是的一个积分因子,且,则也是的积分因子．此处是的任一连续函数．而,其中是的一个原函数．据此知,对任意的函数,,及都分别是（4）的第一组和第二组的积分因子．函数、有着广泛选择的可能性,若能选择、使：,则就既是的第一组也是第二组的积分因子．因而也就是的积分因子．例求解微分方程．解原方程可改写为前一组满足,且
8、仅与有关,故有积分因子,则因而有更一般的积分因子,而对于后一组,显然有积分因子,则因而有更一般的积分因子,为了使即只需取,,如此可得原方程有积分因子,且有积分上式即可得．此外原方程还有解=0和=0．注:运用分组法求积分因子时有两个重要问题关键在于对较复杂对称形式的的方程进行适当分组;重难点在于适当选取和,使得．分项组合法组合原则定
