【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案：学案38 直接证明与间接证明

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1、学案38直接证明与间接证明导学目标：1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程及特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程及特点．自主梳理1．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(其中P表示已知条件，Q表示要证的结论)．(2)分析法①定义：从________________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至

2、最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.2．间接证明反证法：假设原命题__________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．自我检测1．分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件332．(2011·揭阳模拟)用反证法证明“如果a>b，那么a>b”的假设内容应是

3、()3333A.a＝bB.a

4、a－c

5、≤

6、a－b

7、＋

8、c－b

9、211B．a＋≥a＋a2aC.a＋3－a＋1

10、a－b

11、＋≥2a－b4．(2010·广东)在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：第1页共9页那么d⊗(a⊕c)等于()A．aB．bC．cD．d＋1115．(2011·东北三省四市联考)设x、y、z∈R，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a、b、yzxc三数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于

12、2D．都大于2探究点一综合法例1已知a，b，c都是实数，求证：a2＋b2＋c2≥1(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.3变式迁移1设a，b，c>0，证明：a2b2c2＋＋≥a＋b＋c.bca探究点二分析法例2(2011·马鞍山月考)若a，b，c是不全相等的正数，求证：a＋bb＋cc＋alg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.222211变式迁移2已知a>0，求证：a＋－2≥a＋－2.a2a探究点三反证法例3若x，y都是正实数，且x＋y>2，第2页共9页1＋x1＋y求证：<2与<2中至少有一个成立．yx变式迁移3若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋π，b＝y2－2

13、z＋π，c＝z2－2x＋π.求236证：a，b，c中至少有一个大于0.转化与化归思想的应用例(12分)(2010·上海改编)若实数x、y、m满足

14、x－m

15、＞

16、y－m

17、，则称x比y远离m.(1)若x2－1比1远离0，求x的取值范围．(2)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3＋b3比a2b＋ab2远离2abab.多角度审题(1)本题属新定义题，根据“远离”的含义列出不等式，然后加以求解．(2)第(2)小题，实质是证明不等式

18、a3＋b3－2abab

19、>

20、a2b＋ab2－2abab

21、成立．证明时注意提取公因式及配方法的运用．【答题模板】2－1

22、＞1，(1)解由题意得

23、x即

24、x2－1＞1或x2－1＜－1.[2分]由x2－1＞1，得x2＞2，即x＜－2或x＞2；由x2－1＜－1，得x∈∅.综上可知x的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．[4分]3＋b3－2abab

25、＞

26、a2b＋ab2－2abab

27、成立．[6分](2)证明由题意知即证

28、a∵a≠b，且a、b都为正数，∴

29、a3＋b3－2abab

30、＝

31、a32＋b32－2a3b3

32、＝

33、a3－b32

34、＝(aa－bb)2，

35、a2b＋ab2－2abab

36、＝

37、aba＋b－2ab

38、＝ab(a－b)2＝(ab－ba)2，[8分]即证(aa－bb)2－(ab－ba)2＞0，即证(aa－bb－a

39、b＋ba)(aa－bb＋ab－ba)＞0，需证[a－ba＋b][a－ba＋b]＞0，[10分]即证(a＋b)(a－b)2＞0，∵a、b都为正数且a≠b，∴上式成立．故原命题成立．[12分]【突破思维障碍】1．准确理解题意，提炼出相应不等式是解决问题的关键．2．代数式

40、a3＋b3－2abab

41、与

42、a2b＋ab2－2abab

43、中的绝对值符号去掉为后续等价变形提供了方便．【易错点剖析】1．推理论证能力较差，绝对值符号不会去．第3页共9页2．运用能力较差，不能有效地进行式子的等价变形或中间变形出错．1．综合法是从条件推导到结论的思维方法，它是