高考第一轮复习数学：1.3 充要条件与反证法

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1、1.3充要条件与反证法●知识梳理1.充分条件：如果pq，则p叫q的充分条件，原命题（或逆否命题）成立，命题中的条件是充分的，也可称q是p的必要条件.2.必要条件：如果qp，则p叫q的必要条件，逆命题（或否命题）成立，命题中的条件为必要的，也可称q是p的充分条件.3.充要条件：如果既有pq，又有qp，记作pq，则p叫做q的充分必要条件，简称充要条件，原命题和逆命题（或逆否命题和否命题）都成立，命题中的条件是充要的.4.反证法：当直接证明有困难时，常用反证法.●点击双基1.ac2＞bc2是a＞b成立的（）A.充分而不必要条件B.充要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条

2、件解析：a＞bac2＞bc2，如c=0.答案：A2.已知a、b、c为非零的平面向量.甲：a·b=a·c，乙：b=c，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：命题甲:a·b=a·ca·（b－c）=0a=0或b=c.命题乙:b=c，因而乙甲，但甲乙.故甲是乙的必要条件但不是充分条件.答案：B3.在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC中，A＞30°0＜sinA＜1sinA＞

3、，sinA＞30°＜A＜150°A＞30°.∴“A＞30°”是“sinA＞”的必要不充分条件.答案：B4.若条件p:a＞4，q:5＜a＜6，则p是q的______________.解析：a＞45＜a＜6，如a=7虽然满足a＞4，但显然a不满足5＜a＜6.答案：必要不充分条件5.若a、b、c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若a＞0且b2－4ac＜0，则对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0，反之，则不一定成立.如a=0，b=0且c＞0时，也有对任意

4、x∈R，有ax2+bx+c＞0.因此应选A.答案：A●典例剖析【例1】使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分而不必要条件是（）A.x＜0B.x≥0C.x∈{－1，3，5}D.x≤－或x≥3上师大附中邓本标第5页（共5页）剖析：∵2x2－5x－3≥0成立的充要条件是x≤－或x≥3，∴对于A当x=－时2x2－5x－3≥0.同理其他也可用特殊值验证.答案：C【例2】求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0.证明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，则a+b+c=0”.∵x=1是方程的根，将x=1代入方程，得a·12+

5、b·1+c=0，即a+b+c=0.（2）充分性，即“若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的根”.把x=1代入方程的左边，得a·12+b·1+c=a+b+c.∵a+b+c=0，∴x=1是方程的根.综合（1）（2）知命题成立.深化拓展求ax2+2x+1=0（a≠0）至少有一负根的充要条件.证明：必要性：（1）方程有一正根和一负根，等价于a＜0.（2）方程有两负根，等价于0＜a≤1.综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a＜0或0＜a≤1.充分性：由以上推理的可逆性，知当a＜0时方程有异号两根；当0＜a≤1时，方程有两负根.故a＜0或0＜a≤1是方程ax2+2x

6、+1=0至少有一负根的充分条件.答案：a＜0或0＜a≤1.【例3】下列说法对不对?如果不对，分析错误的原因.（1）x2＝x＋2是x=x2的充分条件；（2）x2＝x＋2是x=x2的必要条件.解：（1）x2=x+2是x=x2的充分条件是指x2=x+2x=x2.但这里“”不成立，因为x=－1时，“”左边为真，但右边为假.得出错误结论的原因可能是应用了错误的推理：x2=x+2x=x2=x.这里推理的第一步是错误的（请同学补充说明具体错在哪里）.（2）x2=x+2是x=x2的必要条件是指x=x2x2=x+2.但这里“”不成立，因为x=0时，“”左边为真，但右边为假.得出错误结论的原因

7、可能是用了错误的推理:x=x2=xx+2=x2.上师大附中邓本标第5页（共5页）这里推理的第一步是错误的（请同学补充说明具体错在哪里）.评述：此题的解答比较注重逻辑推理.事实上，也可以从真值集合方面来分析：x2=x+2的真值集合是{－1，2}，x=x2的真值集合是{0，2}，{－1，2}{0，2}，而{0，2}{－1，2}，所以（1）（2）两个结论都不对.●闯关训练夯实基础1.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不