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时间:2018-08-07
《高考第一轮复习数学:1.3 充要条件与反证法》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、1.3充要条件与反证法●知识梳理1.充分条件:如果pq,则p叫q的充分条件,原命题(或逆否命题)成立,命题中的条件是充分的,也可称q是p的必要条件.2.必要条件:如果qp,则p叫q的必要条件,逆命题(或否命题)成立,命题中的条件为必要的,也可称q是p的充分条件.3.充要条件:如果既有pq,又有qp,记作pq,则p叫做q的充分必要条件,简称充要条件,原命题和逆命题(或逆否命题和否命题)都成立,命题中的条件是充要的.4.反证法:当直接证明有困难时,常用反证法.●点击双基1.ac2>bc2是a>b成立的
2、A.充分而不必要条件B.充要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:a>bac2>bc2,如c=0.答案:A2.(2004年湖北,理4)已知a、b、c为非零的平面向量.甲:a·b=a·c,乙:b=c,则A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析:命题甲:a·b=a·ca·(b-c)=0a=0或b=c.命题乙:b=c,因而乙甲,但甲乙.故甲是乙的必要条件但不是充分条件.答案:B3.(2004年浙
3、江,8)在△ABC中,“A>30°”是“sinA>”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:在△ABC中,A>30°0<sinA<1sinA>,sinA>30°<A<150°A>30°.∴“A>30°”是“sinA>”的必要不充分条件.答案:B4.若条件p:a>4,q:5<a<6,则p是q的______________.解析:a>45<a<6,如a=7虽然满足a>4,但显然a不满足5<a<6.答案:必要不充分条件5.(2005年春季上海,16)若a、
4、b、c是常数,则“a>0且b2-4ac<0”是“对任意x∈R,有ax2+bx+c>0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若a>0且b2-4ac<0,则对任意x∈R,有ax2+bx+c>0,反之,则不一定成立.如a=0,b=0且c>0时,也有对任意x∈R,有ax2+bx+c>0.因此应选A.答案:A●典例剖析【例1】使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分而不必要条件是A.x<0B.x≥0C.x∈{-1,3,5}D.x≤-或x≥3剖析:∵2x2-5x-
5、3≥0成立的充要条件是x≤-或x≥3,∴对于A当x=-时2x2-5x-3≥0.同理其他也可用特殊值验证.答案:C【例2】求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0.证明:(1)必要性,即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根,则a+b+c=0”.∵x=1是方程的根,将x=1代入方程,得a·12+b·1+c=0,即a+b+c=0.(2)充分性,即“若a+b+c=0,则x=1是方程ax2+bx+c=0的根”.把x=1代入方程的左边,得a·12+b·1+c=a+b+
6、c.∵a+b+c=0,∴x=1是方程的根.综合(1)(2)知命题成立.深化拓展求ax2+2x+1=0(a≠0)至少有一负根的充要条件.证明:必要性:(1)方程有一正根和一负根,等价于a<0.(2)方程有两负根,等价于0<a≤1.综上可知,原方程至少有一负根的必要条件是a<0或0<a≤1.充分性:由以上推理的可逆性,知当a<0时方程有异号两根;当0<a≤1时,方程有两负根.故a<0或0<a≤1是方程ax2+2x+1=0至少有一负根的充分条件.答案:a<0或0<a≤1.【例3】下列说法对不对?如果不对
7、,分析错误的原因.(1)x2=x+2是x=x2的充分条件;(2)x2=x+2是x=x2的必要条件.解:(1)x2=x+2是x=x2的充分条件是指x2=x+2x=x2.但这里“”不成立,因为x=-1时,“”左边为真,但右边为假.得出错误结论的原因可能是应用了错误的推理:x2=x+2x=x2=x.这里推理的第一步是错误的(请同学补充说明具体错在哪里).(2)x2=x+2是x=x2的必要条件是指x=x2x2=x+2.但这里“”不成立,因为x=0时,“”左边为真,但右边为假.得出错误结论的原因可能是用了错
8、误的推理:x=x2=xx+2=x2.这里推理的第一步是错误的(请同学补充说明具体错在哪里).评述:此题的解答比较注重逻辑推理.事实上,也可以从真值集合方面来分析:x2=x+2的真值集合是{-1,2},x=x2的真值集合是{0,2},{-1,2}{0,2},而{0,2}{-1,2},所以(1)(2)两个结论都不对.●闯关训练夯实基础1.(2004年重庆,7)已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件
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