勾股定理的证明方法探究[2]

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1、勾股定理的证明方法勾股定理是初等几何中的一个基本定理。这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．下面乃几千年来前人所发现的证明方法。 　　【证法1】（梅文鼎证明）　　做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.　　∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,　　∴∠EGF=∠BED

2、，　　∵∠EGF+∠GEF=90°，　　∴∠BED+∠GEF=90°，　　∴∠BEG=180°―90°=90°　　又∵AB=BE=EG=GA=c，　　∴ABEG是一个边长为c的正方形.　　∴∠ABC+∠CBE=90°　　∵RtΔABC≌RtΔEBD,　　∴∠ABC=∠EBD.　　∴∠EBD+∠CBE=90°　　即∠CBD=90°　　又∵∠BDE=90°，∠BCP=90°，　　BC=BD=a.　　∴BDPC是一个边长为a的正方形.　　同理，HPFG是一个边长为b的正方形.　　设多边形GHCBE的面积为S，则　　,　　∴BDPC的面积也

3、为S，HPFG的面积也为S由此可推出：a^2+b^2=c^2 　　　　【证法2】（项明达证明）　　做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.　　过点Q作QP∥BC，交AC于点P.　　过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点　　F作FN⊥PQ，垂足为N.　　∵∠BCA=90°，QP∥BC，　　∴∠MPC=90°，　　∵BM⊥PQ，　　∴∠BMP=90°，　　∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90°.　　∵∠QBM+∠M

4、BA=∠QBA=°，　　∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°，　　∴∠QBM=∠ABC，　　又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c，　　∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.　　同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2　　【证法3】（赵浩杰证明）　　做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.　　分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，　　∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，　　∴FI=a，　　∴G,I,

5、J在同一直线上，　　∵CJ=CF=a，CB=CD=c，　　∠CJB=∠CFD=90°，　　∴RtΔCJB≌RtΔCFD，　　同理，RtΔABG≌RtΔADE，　　∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE　　∴∠ABG=∠BCJ,　　∵∠BCJ+∠CBJ=90°,　　∴∠ABG+∠CBJ=90°,　　∵∠ABC=90°,　　∴G,B,I,J在同一直线上，　　所以a^2+b^2=c^2　　【证法4】（欧几里得证明）　　做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结　　BF、

6、CD.过C作CL⊥DE，　　交AB于点M，交DE于点L.　　∵AF=AC，AB=AD，　　∠FAB=∠GAD，　　∴ΔFAB≌ΔGAD，　　∵ΔFAB的面积等于，　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM　　的面积的一半，　　∴矩形ADLM的面积=.　　同理可证，矩形MLEB的面积=.　　∵正方形ADEB的面积　　=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积　　∴即a的平方+b的平方=c的平方　　【证法5】欧几里得的证法　　《几何原本》中的证明　　在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，其中A为直

7、角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。　　在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：　　如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。　　其证明如下：设△ABC为一直角三角形，其

8、直角为CAB其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因