勾股定理的证明方法探究[2]

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1、勾股定理的证明方法勾股定理是初等几何中的一个基本定理。这个定理有十分悠久的历史,两千多年来,人们对勾股定理的证明颇感兴趣,因为这个定理太贴近人们的生活实际,以至于古往今来,下至平民百姓,上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明.下面乃几千年来前人所发现的证明方法。   【证法1】(梅文鼎证明)  做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.  ∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,  ∴∠EGF=∠BED

2、,  ∵∠EGF+∠GEF=90°,  ∴∠BED+∠GEF=90°,  ∴∠BEG=180°―90°=90°  又∵AB=BE=EG=GA=c,  ∴ABEG是一个边长为c的正方形.  ∴∠ABC+∠CBE=90°  ∵RtΔABC≌RtΔEBD,  ∴∠ABC=∠EBD.  ∴∠EBD+∠CBE=90°  即∠CBD=90°  又∵∠BDE=90°,∠BCP=90°,  BC=BD=a.  ∴BDPC是一个边长为a的正方形.  同理,HPFG是一个边长为b的正方形.  设多边形GHCBE的面积为S,则  ,  ∴BDPC的面积也

3、为S,HPFG的面积也为S由此可推出:a^2+b^2=c^2     【证法2】(项明达证明)  做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.  过点Q作QP∥BC,交AC于点P.  过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点  F作FN⊥PQ,垂足为N.  ∵∠BCA=90°,QP∥BC,  ∴∠MPC=90°,  ∵BM⊥PQ,  ∴∠BMP=90°,  ∴BCPM是一个矩形,即∠MBC=90°.  ∵∠QBM+∠M

4、BA=∠QBA=°,  ∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°,  ∴∠QBM=∠ABC,  又∵∠BMP=90°,∠BCA=90°,BQ=BA=c,  ∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.  同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2  【证法3】(赵浩杰证明)  做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.  分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,  ∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,  ∴FI=a,  ∴G,I,

5、J在同一直线上,  ∵CJ=CF=a,CB=CD=c,  ∠CJB=∠CFD=90°,  ∴RtΔCJB≌RtΔCFD,  同理,RtΔABG≌RtΔADE,  ∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE  ∴∠ABG=∠BCJ,  ∵∠BCJ+∠CBJ=90°,  ∴∠ABG+∠CBJ=90°,  ∵∠ABC=90°,  ∴G,B,I,J在同一直线上,  所以a^2+b^2=c^2  【证法4】(欧几里得证明)  做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结  BF、

6、CD.过C作CL⊥DE,  交AB于点M,交DE于点L.  ∵AF=AC,AB=AD,  ∠FAB=∠GAD,  ∴ΔFAB≌ΔGAD,  ∵ΔFAB的面积等于,  ΔGAD的面积等于矩形ADLM  的面积的一半,  ∴矩形ADLM的面积=.  同理可证,矩形MLEB的面积=.  ∵正方形ADEB的面积  =矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积  ∴即a的平方+b的平方=c的平方  【证法5】欧几里得的证法  《几何原本》中的证明  在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形,其中A为直

7、角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。  在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下:  如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS定理)三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。证明的概念为:把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。  其证明如下:设△ABC为一直角三角形,其

8、直角为CAB其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角,因

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