直线的两点式方程教学：困惑、解惑与感悟.doc

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1、直线的两点式方程教学：困惑、解惑与感悟一、问题提出在上到必修2第三章《直线与方程》时，我们学校同年级教文科的一位新教师问我“直线的两点式方程要不要上”？对于她问这个问题的原因我可以理解，甚至有同感，教给学生干吗呢？理由一：既然已经学了点斜式方程，直接由直线上的两点、求出直线的斜率，再由直线的点斜式不就把方程求出来了嘛。理由二：两点式方程结构复杂，即使教给学生，学生也未必能记住，如果记错了还不如不教，得不偿失。理由三：两点式方程限制条件多，垂直于坐标轴的直线不能用两点式来表示。正巧，我们学校和海盐高

2、级中学、平湖当湖中学期中考试时是三校联考的，到平湖当湖中学去商讨期中考试的范围时，借此机会我也拿这个问题请教了两所学校的备课组长，一致认为直线的两点式该弱化处理，学生容易算错。种种理由显示直线的两点式方程似乎没有“立足之地”了。在新课标下到底如何定位、把握直线的两点式方程的教学呢？二、课前分析1.学情分析在初中，学生学了一点平面几何的知识，那时他们还仅限于图形的处理。到了高中从《直线与方程》、《圆与方程》到选修1-1《圆锥曲线》这三章他们开始接触解析几何。解析几何的本质就是用代数方法研究图形的几何

3、性质，体现了数形结合的重要数学思想。在《直线与方程》这一章中，以平面直角坐标系为平台，给直线插上方程的“翅膀”，通过直线的方程研究直线之间的位置关系：平行、垂直，以及两条直线的交点坐标，点到直线的距离公式等等。从几何直观到代数表示从代数表示到几何直观（建立直线的方程）（通过方程研究几何性质和度量）直线的方程起了一个“桥梁”的作用。直线的方程重要性不言而喻了。2.两点式本身的优点分析直线的两点式体现了“两点确定一条直线”这一朴素的数学理念；斜率不存在时的直线方程可用两点式的变形写出，向直线的一般式方

4、程完成过渡；研究两点式方程的目的不是说这种形式比较简单或是好用，两点式方程起着承上启下的作用，它保持了知识的完整性和系统性，在思想与方法层面上，对学生分析问题解决问题的能力的培养应该有好处；两点式方程的表达式工整，结构优美，如果设它等于一个参数，马上可以得到直线的参数方程，为将来选修模块中的直线的参数方程做了铺垫，这是其它方程所不能代替的。如果按照点斜式的程度来上这节课的话，会不会真的“上了还不如不上”呢？带着这个困惑我决定进行一次“详细上这堂课”的教学尝试。三、上课实录因为上节课学过了直线方程的

5、点斜式，所以我上课一开始给出了一道小练习：已知直线经过两点,求直线的方程.让学生独立当场完成。做完之后我统计了一下，用点斜式方法来求的占，还有的同学是用初中学过的待定系数设求一次函数的方法。前者用时较短，后者用时较长。看到这个结果，我基本心中有数，故意不做点评我开始了新课的教学。3师：前面我们已经探索了确定直线位置的几何要素有哪些？生众：两点确定一条直线。师：对。还有吗？生：已知一个点和倾斜角。师：很好。倾斜角和斜率都表示直线的倾斜程度，所以已知一个点和直线的斜率也可以确定一条直线。已知直线过点和

6、它的斜率（或倾斜角）可以求出直线的方程为，我们把这个方程称为直线的点斜式，那么已知直线过了两个点怎么求直线的方程呢？比如开头那个小练习，我们可以怎么做呢？让两个学生起立作答。对于这两种做法我都给予了肯定。那么已知直线上两点求直线方程有没有更快捷的方法呢？我们一起探讨吧。师：已知、，如何求直线的方程？生1：先求出直线的斜率，再写出直线的点斜式方程：。师：能不能变形？上式的形式不便于记忆及应用，可以把上式进行变形，使它的形式比较对称和美观，能够体现数学之美。你认为什么形式更美观些？生2：。师：这是等价

7、变形吗？两边除以时，必须。生3：。师：同理时才为等价变形。我们可以用方程表示过两点、的直线方程了。这个方程形式体现了“对称美”，突出了两点的坐标，根据直线所过的两点的坐标可以立即写出直线的方程，所以我们就把这个形式的方程就叫做直线的两点式方程，简称两点式。师：注意到方程后面的两个限制条件，两点式方程不能表示哪些直线呢？生：当时，直线倾斜角是90°，当时，直线的倾斜角是0°。这两种直线不能用两点式方程表示。师：真聪明。那这两种直线就没有方程吗？生：有的。当，直线倾斜角是90°时，直线垂直于轴，直线上

8、的每一点横坐标都是，所以可用表示。同理当，直线的倾斜角是0°时，直线可用方程表示。师：非常好。直线的两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线，就如同直线的点斜式不能表示斜率不存在的直线一样，有点残缺美。但是有没有办法弥补这点小遗憾呢？把直线的两点式方程怎么变一变就能表示平面上的任意一条直线？生4：分式化成整式，去分母。没有分母它就没有限制条件了。师：真的太棒了。对角相乘把方程化为就可以了。书上之所以不化成这种形式，是为了讲究和谐美和对称美。以后大家在直接使用两点式求直线方程时，可要看清