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1、求函数极限方法的若干方法摘要：关键词：1引言：极限的重要性极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y=f(x)在x=x0处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。2极限的概念及性质2.1
2、极限的概念2.1.1limn→∞xn=A,任意的正整数N，使得当n>N时就有xn-A<ε。2.1.2limx→∞fx=A↔∀ε>0，任意整数X，使得当x>X时就有fx-A<ε。类似可以定义单侧极限limx→+∞fx=A与limx→-∞f(x)。2.2.3，整数，使得当时有。类似可定义当时右极限与左极限：，。在此处键入公式。2.2极限的性质2.2.1极限的不等式性质：设，。若，则，当时有；若，使得当时有，则。2.2.1（推论）极限的保号性：设。若,则，当时有；若，使得当时有，则。2.2.2存在极限的函数局部有界性：
3、设存在极限，则在的某空心邻域内有界，即与，使得当时有3求极限的方法1、定义法2、利用极限的四则运算性质求极限,3、利用夹逼性定理求极限4、利用两个重要极限求极限，5、利用迫敛性求极限,6、利用洛必达法则求极限,7、利用定积分求极限,8、利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限9、利用变量替换求极限,10、利用递推公式求极限,11、利用等价无穷小量代换求极限,12、利用函数的连续性求极限,13、利用泰勒展开式求极限,14、利用两个准则求极限15、利用级数收敛的必要条件求极限16、利用单侧极限求极限17
4、、利用中值定理求极限3.1定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设是一个数列,是实数,如果对任意给定的,总存在一个正整数，当时,都有,我们就称是数列的极限.记为.例1证明证任给，取，则当时有，所以。3.2利用极限的四则运算性质求极限设，，则，，。例1求解这是求型极限，用相消法，分子、分母同除以得，其中。3.3利用夹逼性定理求极限当极限不易直接求出时,可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小,使放大与缩小所得的新变量易于求极限,且二者的极限值相同,则原极限存在,且等于公共值。特别是当在连加或连乘的极限里,可通过各项
5、或各因子的放大与缩小来获得所需的不等式。3.3.1（数列情形）若，使得当时有，且，则。3.3.2（函数情形）若，使得当时有，又，则。例题解：，其中，，因此。3.4利用两个重要极限球极限两个重要极限是，或。第一个重要极限可通过等价无穷小来实现。利用这两个重要极限来求函数的极限时要观察所给的函数形式，只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时，才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。例题1解：令t=.则sinx=sin(t)=sint,且当时故例题23.5利用迫敛性求极限,且在某个内有,那么
6、。例求的极限解：因为.且由迫敛性知所以3.6利用洛必达法则求极限假设当自变量趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：和的极限都是或都是无穷大和都可导，并且的导数不为0存在（或无穷大），则极限也必存在，且等于，即=。利用洛必达法则求极限，可连续进行运算，可简化一些较复杂的函数求极限的过程，但是运用时需注意条件。例题求解原式=注：运用洛比达法则应注意以下几点：1、要注意条件，也就是说，在没有化为或时不可求导。2、应用洛必达法则，要分别求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、要及时化简极限符号后面的分式，在化
7、简以后检查是否还是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会错误。3.7利用定积分求极限利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数f(x)。把所求极限的和式表示成f(x)在某区间上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。例解原式=，由定积分的定义可知。3.8利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限利用无穷小量乘有界变量仍是无穷小量,这一方法在求极限时常用到。在求函数极限过程中,如果此函数是某个无穷小量与所有其他量相乘或相除时,这个无穷小量可用它的等价无穷小量来代替,从而使计算简
8、单化。例解注意时，，。3.9利用变量替换求极限为将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可以根据极限式特点，适当的引入新变量，来替换原有变量，使原来的极限过程转化为新的极限过程。最常用的方法就是等价无穷小的代换。例已知试证证令则时，于是当时第二、三项趋于零，现在证明第四项极限也为零。因（当时），故有界，即，使得。所以原式得证。3.10利用递推公式求极限用递推公式计算或者证明
