第三章_信道容量-习题答案

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1、3.1设信源通过一干扰信道，接收符号为Y={y1,y2}，信道转移矩阵为，求：(1)信源X中事件x1和事件x2分别包含的自信息量；(2)收到消息yj(j=1,2)后，获得的关于xi(i=1,2)的信息量；(3)信源X和信宿Y的信息熵；(4)信道疑义度H(X/Y)和噪声熵H(Y/X)；(5)接收到信息Y后获得的平均互信息量。解：1)2)3)4)·33·5)3.2设二元对称信道的传递矩阵为(1)若P(0)=3/4,P(1)=1/4，求H(X),H(X/Y),H(Y/X)和I(X;Y)；(2)求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布；解：1)2)3.3

2、设有一批电阻，按阻值分70%是2KΩ，30%是5KΩ；按瓦分64%是0.125W，其余是0.25W。现已知2KΩ阻值的电阻中80%是0.125W，问通过测量阻值可以得到的关于瓦数的平均信息量是多少？解：对本题建立数学模型如下：以下是求解过程：·33·3.4若X,Y,Z是三个随机变量，试证明(1)I(X;YZ)=I(X;Y)+I(X;Z/Y)=I(X;Z)+I(X;Y/Z)；证明：(2)I(X;Y/Z)=I(Y;X/Z)=H(X/Z)–H(X/YZ)；证明：·33·(3)I(X;Y/Z)≥0，当且仅当(X,Y,Z)是马氏链时等式成立。证明：当时等式成立·33

3、·所以等式成立的条件是X,Y,Z是马氏链3.5若三个随机变量，有如下关系：Z=X+Y，其中X和Y相互独立，试证明：(1)I(X;Z)=H(Z)-H(Y)；(2)I(XY;Z)=H(Z)；(3)I(X;YZ)=H(X)；(4)I(Y;Z/X)=H(Y)；(5)I(X;Y/Z)=H(X/Z)=H(Y/Z)。解：1)2)3)·33·4)5)·33·3.6有一个二元对称信道，其信道矩阵为。设该信源以1500二元符号/秒的速度传输输入符号。现有一消息序列共有14000个二元符号，并设P(0)=P(1)=1/2，问从消息传输的角度来考虑，10秒钟内能否将这消息序列无失

4、真的传递完？解：信道容量计算如下：也就是说每输入一个信道符号，接收到的信息量是0.859比特。已知信源输入1500二元符号/秒，那么每秒钟接收到的信息量是：现在需要传送的符号序列有140000个二元符号，并设P(0)=P(1)=1/2，可以计算出这个符号序列的信息量是要求10秒钟传完，也就是说每秒钟传输的信息量是1400bit/s，超过了信道每秒钟传输的能力（1288bit/s）。所以10秒内不能将消息序列无失真的传递完。3.7求下列各离散信道的容量（其条件概率P(Y/X)如下：）(1)Z信道(2)可抹信道(3)非对称信道(4)准对称信道解：1)Z信道这个

5、信道是个一般信道，利用一般信道的计算方法：a.由公式，求βjb.由公式，求C·33·c.由公式，求p(yj)d.由公式，求p(xi)由方程组：解得因为s是条件转移概率，所以0≤s≤1，从而有p(x1)，p(x2)≥0，保证了C的存在。2)可抹信道可抹信道是一个准对称信道，把信道矩阵分解成两个子矩阵如下：·33·3)非对称信道这个信道是个一般信道，利用一般信道的计算方法a.由公式，求βjb.由公式，求Cc.由公式，求p(yj)d.由公式，求p(xi)由方程组：解得p(x1)，p(x2)≥0，保证了C的存在。(4)准对称信道把信道矩阵分解成三个子矩阵如下：·3

6、3·3.8已知一个高斯信道，输入信噪比（比率）为3。频带为3kHz，求最大可能传输的消息率。若信噪比提高到15，理论上传送同样的信息率所需的频带为多少？解：3.9有二址接入信道，输入X1,X2和输出Y的条件概率P(Y/X1X2)如下表（ε<1/2），求容量界限。·33·X1X2Y01001-εε011/21/2101/21/211ε1-ε3.10有一离散广播信道，其条件概率为试计算其容量界限（已知）。3.11已知离散信源，某信道的信道矩阵为试求：(1)“输入x3，输出y2”的概率；(2)“输出y4”的概率；(3)“收到y3的条件下推测输入x2”的概率。解：

7、1)2)3)3.12证明信道疑义度H(X/Y)=0的充分条件是信道矩阵[P]中每列有一个且只有一个非零元素。证明：[P]每列有一个且只有一个非零元素=〉H(X/Y)=0取[P]的第j列，设而其他·33·3.13试证明：当信道每输入一个X值，相应有几个Y值输出，且不同的X值所对应的Y值不相互重合时，有H(Y)–H(X)=H(Y/X)。证明：信道每输入一个X值，相应有几个Y值输出，且不同的X值所对应的Y值不相互重合。这种信道描述的信道转移矩阵[P]的特点是每列有一个且只有一个非零元素。取[P]的第j列，设而其他3.14试求以下各信道矩阵代表的信道的容量：(1)

8、[P]=(2)[P]=·33·(3)[P]=解：1)这个信道是一一