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1、XXX学校毕业论文（设计）对角化矩阵的应用学生姓名学院专业班级学号指导教师2015年4月25日毕业论文（设计）承诺书本人郑重承诺：1、本论文（设计）是在指导教师的指导下，查阅相关文献，进行分析研究，独立撰写而成的.2、本论文（设计）中，所有实验、数据和有关材料均是真实的.3、本论文（设计）中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或机构已经撰写发表过的研究成果.4、本论文（设计）如有剽窃他人研究成果的情况，一切后果自负.学生（签名）：2015年4月25日对角化矩阵的应用摘要矩阵对角化问题是矩阵理论中一个
2、关键性问题.本文借助矩阵可对角化条件，可对角化矩阵性质和矩阵对角化方法来研究可对角化矩阵一些应用，包括求方阵的高次幂，反求矩阵，判断矩阵是否相似，求特殊矩阵的特征值，在向量空间中证明矩阵相似于对角矩阵，运用线性变换把矩阵变为对角矩阵，求数列通项公式与极限，求行列式的值.【关键词】对角化；特征值；特征向量；矩阵相似；线性变换ApplicationofdiagonalizationmatrixAbstractMatrixdiagonalizationproblemisthekeyissueinthem
3、atrixtheory.Inthispaper,byusingmatrixdiagonalizationconditions,diagonalizationmatrixpropertiesandmatrixdiagonalizationmethodwestudysomeapplicationsofdiagonalizationmatrix,includingforhigh-orderexponentofmatrix,findingtheinversematrix,matrixtodetermine
4、whetheritissimilar,theeigenvalueofspecialmatrix,inthevectorspacethatmatrixsimilartoadiagonalmatrix,usinglineartransformationmatrixisadiagonalmatrix,fortheseriesofgeneraltermformulaandlimit,thedeterminantofvalue.[Keywords]Thediagonalization;Eigenvalue;
5、Featurevector;Similar;Lineartransformation目录引言11矩阵对角化11.1矩阵对角化的几个条件11.2对角化矩阵的性质31.3矩阵对角化的方法52对角化矩阵的应用52.1求方阵的高次幂52.2反求矩阵62.3判断矩阵是否相似72.4求特殊矩阵的特征值72.5在向量空间中应用72.6在线性变换中应用72.7求数列通项公式与极限82.8求行列式的值112.9对角化矩阵在其他方面的应用12参考文献14致谢15引言现如今，我们所提到的矩阵对角化其实质指的就是矩阵和对
6、角阵存在相似的地方,其中我们学过的线性变换也是可对角化的,其原理是指在某一组基的作用下这个线性变换可以变为对角阵（或者可以说是在某一组基的作用下这个线性变换的矩阵是可对角化的）,当然刚刚提到的这个问题其实我们可以把它归类到矩阵是否可对角化的问题中去，因为其两者本身就是相辅相成的.当然本篇文章我们主要是研究和探索判定矩阵可对角化的诸多条件，以及我们如何去运用矩阵对角化的有关性质，来把将矩阵化为对角形的问题进行解决.与此同时，我们也在研究和探索中发现了它在其他方面一些重要的运用.1矩阵对角化我们所涉及
7、的矩阵都是可以对角化的，其原理是指通过矩阵的一系列初等变换（指：行、列变换）后,就能够得到一个特殊的矩阵,其特殊性在于只有在其主对角线的数上不全为零，然而其他位置的数则是全部为零（那么这个特殊的矩阵就可以被我们称为对角阵）,这一整个的变换过程就被我们称为矩阵的对角化.当然值得我们注意的是，我们所学过的矩阵并非都能对角化的，这个是有条件限制的.1.1矩阵对角化的几个条件引理设,且,则存在可逆矩阵,使可同时对角化.引理如果的个对角元互不相同,矩阵,那么当且仅当本身就是对角阵.因为任何一个幂等矩阵一定相
8、似于一个对角矩阵,所以任何一个对角矩阵都是能够进行谱分解的,即,其中是矩阵的特征值,矩阵为幂等矩阵，那么是否任意有限个幂等矩阵的线性组合都可以对角化呢？有如下结论：定理若第15页共16页是个数,是个幂矩阵,并且他们两两可替换,,则矩阵可对角化.证明若是个幂矩阵,并且两两可换，则一定有一个可逆矩阵,使得,可同时对角化.,,由知同样是对角矩阵,即矩阵为对角化的矩阵.定理如果,是它两个不相同的特征值,那么矩阵可对角化一定有幂等矩阵,满足.证明必要性：如果是一个对角化的矩阵,那么就一定会有
