数学运算之容斥原理专题

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1、数学运算之容斥原理专题核心公式：（1）两个集合的容斥关系公式：A＋B＝A∪B＋A∩B（2）三个集合的容斥关系公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C【例1】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有：A．22人B．28人C．30人D．36人【解析】设A＝喜欢看球赛的人（58），

2、B＝喜欢看戏剧的人（38），C＝喜欢看电影的人（52）A∩B＝既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人（18）B∩C＝既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人（16）A∩B∩C＝三种都喜欢看的人（12）A∪B∪C＝看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种（100）根据公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩CC∩A＝A＋B＋C－（A∪B∪C＋A∩B＋B∩C－A∩B∩C）＝148－（100＋18＋16－12）＝26所以，只喜欢看电影的人＝C－B∩C－C∩A＋A∩B∩C＝52－16－26＋12＝22　【例2

3、】某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是()。　　A.22B.18C.28D.26　【解析】设A＝第一次考试中及格的人(26)，B＝第二次考试中及格的人(24)　　显然，A＋B＝26＋24＝50；A∪B＝32-4＝28，　　则根据公式A∩B＝A＋B-A∪B＝50-28＝22　　所以，答案为A。　　【例3】某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12

4、人，则既会骑车又会游泳的有()人　　A.57B.73C.130D.69　【解析】设A＝会骑自行车的人(68)，B＝会游泳的人(62)　　显然，A＋B＝68＋62＝130；A∪B＝85-12＝73，　　则根据公式A∩B＝A＋B-A∪B＝130-73＝57　　所以，答案为A。　【例4】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？　　【解析】设A＝看过2频道的人(62)，B＝看过8频道的人(34)　　显然，A＋B＝6

5、2＋34＝96；A∩B＝两个频道都看过的人(11)　　则根据公式A∪B＝A＋B-A∩B＝96-11＝85　　所以，两个频道都没有看过的人数＝100-85＝15所以，答案为15。14.A、B、C三本书，至少读过其中一本的有20人，读过A书的有10人，读过B书的有12人，读过C书的有15人，读过A、B两书的有8人，读过B、C两书的有9人，读过A、C两书的有7人。三本书全读过的有多少人？（）  A.5B.7C.9D.无法计算―――――――――――――――――――【天字一号解析】这个题目我是借鉴的“天使

6、在唱歌”总结的公式组来解答。根据题目的不同可以挑选其中的任意2组或者3组公式答题。先来介绍一下公式：首先这里不考虑都不参与的元素（1）A+B+T=总人数（2）A＋2B＋3T＝至少包含1种的总人数（3）B＋3T＝至少包含2种的总人数这里介绍一下A、B、T分别是什么看图A＝x＋y＋z；B＝a＋b＋c；T＝三种都会或者都参加的人数看这个题目我们要求的是看三本书全部读过的是多少人？实际上是求T根据公式：（1）A＋B＋T＝20（2）A＋2B＋3T＝10＋12＋15＝37（3）B＋3T＝8＋9＋7＝24（2

7、）－（1）＝B＋2T＝17结合（3），得到T＝24－17＝7人51.甲,乙,丙三个人共解出20道数学题,每人都解出了其中的12道题,每道题都有人解出.只有一人解出的题叫做难题,只有两人解出的题叫做中等题,三人解出的题叫做容易题,难题比容易题多（）题?A、6B、5C、4D、3――――――――――――――――【天使在唱歌解析】第三题需要结合文氏图来理解了，画图会很清楚的http://bbs.qzzn.com/read-htm-tid-9818850.html第14题我们设A表示难题，B表示中档题目，

8、T表示简单题目（1）：A＋B＋T＝20（2）：A＋2B＋3T＝12×3这个式子式文氏图中必须要记住和理解的将（1）×2－（2）＝A－T＝4这就是我们要求的难题比简单题目多出4可能很多人都说这个方法太耗时了，的确。在开始使用这样方法的时候费时不少。当你完全了解和熟练运用：A＋2B＋3T这个公式的时候，这个题目我在第一部分就有说明！24.某工作组有12名外国人,其中6人会说英语,5人会说法语,5人会说西班牙语;有3人即会说英又会说法,有2人既会说法又会说西;有2人既会说西又会说英;有1人这三种语言都